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zoom RSS 微分方程式の初期条件を間違えてしまった。。

<<   作成日時 : 2016/12/30 00:01   >>

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「ちょっと微分方程式を解いてみる」で納得のいかない結果になりました。
あもんさんのコメントで、画像掲示板にあもんさんのプログラムがあるのを教えていただき、それを見るとやはり私が勘違いしていることが明確になりました。
そこで記事の計算の見直しを行います。

[前記事の冒頭部分]---------------------------------------------------
「Schwarzschild 時空で中の粒子の運動」の再掲(2)のグラフを眺めていると、これがニュートン力学で考えるとどうなるのか?を調べてみたくなりました。その前に微分方程式を解くのに悩んでしまいました。
そこら辺のことを書いてみます。

Schwarzschild 半径の2倍の位置から自由落下して、Schwarzschild 半径の近傍までの経過時間を時間を考える訳ですが、それには

  

という微分方程式を解く必要があるでしょう。簡略化すると

 

ですが、この場合

 

ということを考慮し、両辺に を掛けて

 

とすれば、積分して

 

であり、

 

となりました。つまり

 

ということです。
--------------------------------------------------------------------

まあ、ここまではおかしくないと思います。
を決める段階で、「自由落下なので、 で速度はゼロなので、 」というのが間違いでしょう。

正しくは「自由落下なので、 で速度はゼロなので、 」。ただし、 は落下開始高さ。
つまり、 なので、

 
 
問題は不定積分

 

の計算となる訳です。

 

という変換を行うと

 

ですが、この被積分関数ももう少し変形した方が良いでしょう。

 

であり、

 
 

のため、

 
  
  
  
  

よって、

 

となるでしょう。 とすると、

 

で、図示すると



少し近づきました。。。

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コメント(2件)

内 容 ニックネーム/日時
それで合っていますね。別解を私の掲示板に書きました。ちなみに粒子の運動の式は、運動方程式からではなく、エネルギー保存則から導くのが普通で、簡単です。後は一般相対論の方の時間を無限遠方でなく r=r_i のそれに設定すれば妥当な比較ということになるでしょう。

また、細かいことですが「 t=0 で加速度はゼロ」は「 t=0 (r=r_i) で速度はゼロ」の誤りかな?
あもん
2016/12/30 04:13
あもんさん、コメントありがとうございます。
ご指摘の「加速度」→「速度」は訂正しておきました。
さて、初めは「 2a の位置から a の近傍までは遠方座標で観ても有限時間で達することが出来る」ということを図示することが目的で、グラフ化しました。
その後、ニュートン理論で落下(累計)時間と高さの関係を示すグラフを重ねてみたくなって、今回計算してみました。
確かに、2a の位置にいる観測者の立場で比較しないと一般相対論とニュートン理論の比較にはならないかも知れませんね。
それは後日考えてみたいとおもいます。アドバイスありがとうございました。
T_NAKA
2016/12/30 13:03

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