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<<   作成日時 : 2016/11/09 00:01   >>

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"Remarks on the Equivalence of Inertial and Gravitational Masses and on the Accuracy of Einstein's Theory of Gravity." の CONSEQUENCES OF THE NEW METRIC を続けます。

[新しい計量の結果:CONSEQUENCES OF THE NEW METRIC(3)]=======================================
The last phenomenon that will be addressed in this article is the Mercury’s perihelion advance.


The perihelion advance is one of the more sensitive tests for the metric, since this phenomenon is integrating.


The small single orbit perihelion advances accumulate over the long time periods and the resulting accumulation can thus be readily detected.


To calculate the perihelion advance from the metric, it is customary to use Lagrangian derived in Eq.54.

計量から近日点移動を計算するために、式 (54) から導出されるラグランジュ関数を使うのが慣例である。

From the Lagrangian it is then simple to find EL equations of motion and their first integrals.


Since the motion of the planet is periodic it is no problem that the Lagrangian in Eq.54 is expressed in proper distances.

惑星の運動が定期的であるので、式 (54) のラグランジュ関数が固有距離で表されることは問題ではない。

The same result would be obtained if the proper distances were transformed to coordinate distances.


The first integrals are therefore as follows:


where α and k are the constants of integration (k = -c2).

ここで α と k は積分定数(k = -c2)。

It is important to note that Eq.64 has a universal validity regardless of the coordinate system used.

使われる座標系に関係なく、式 (64) が一般的な妥当性を持つ点に注目することが重要である。

This follows directly from Eq.38 that also does not depend on the selected coordinates.

これは、また、選ばれた座標に依存しない式 (38) から、直接フォローされる。

By using the customary substitution u = 1/ρ and by eliminating τ from Eq.62 and 64, the equations can be reduced to a single equation for u as function of ϕ as follows: (65)

慣習的な代用 u = 1/ρ を用いて、式 (62) と式 (64) から τ を除くことによって、以下の通りに ϕ に対応する u のために一つの方程式になる:

Dividing Eq.65 by factor e2Rsu , expanding each exponential into the power series keeping only the first two terms, and differentiating the result with respect to ϕ, the equation becomes: (66)

因子 e2Rsu で式 (65)を割って、各々の指数関数を初項と第二項だけを保っている級数に展開して、ϕ 微分方程式にすると以下のようになる。:


This is the standard form of equation describing the perihelion advance.


The advance is calculated to be: (67)


where R1 and R2 are the perihelion and aphelion distances respectively.

R1 と R2 がそれぞれ近日点距離と遠日点距離である。

This formula gives the standard value commonly recognized today for the Mercury’s perihelion advance due to gravitationally induced space-time curvature, which is equal to Δϕ = 42.993” per century.

この式は、重力による時空湾曲から水星の近日点移動に今日一般に認められる基準値(1世紀につき Δϕ=42.993")を与える。


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