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zoom RSS 「シュバルツシルド時空での自由落下(シュバルツシルド半径から遠い場合)」を再掲

<<   作成日時 : 2016/11/04 00:01   >>

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「シュバルツシルド時空での自由落下(シュバルツシルド半径から遠い場合)」を Tex 風に式を書き直しておきます。

まず、測地線方程式を考えます。

 

この空間成分は

 
  

です。ここで、

 

という条件(重力が弱い)を加味すると、測地線方程式は

 

となります。
ここで、具体的な計量として、次のシュバルツシルド時空を考えます。

 

ここで、シュバルツシルド半径から遠いところの自由落下を考えるのですが、dt と dτ の関係を求めておかなければいけないと思います。落下なので、θ= 0 と固定して良いでしょう。つまり、

 
  
  

よって

 

ここから、

 

ここで、「シュバルツシルド半径から遠いところ」なら  なるので、

 

という、ミンコフスキー空間と同じになるのは当たり前でしょうね。
自由落下なので、その速度は光速度よりはかなり小さく、


 

となるでしょう。つまり、

 
 
  
  
  

から、測地線方程式は
 
 

となるでしょう。
自由落下では、r方向だけを考えればよいので、

 

ですね。ここで、 と考えられるので、

 

したがって

 

となります。また

 

であり、

 

から、 なので、

 

となります。つまり、測地線方程式は

 
 

さらに近似すると

 

なので、

 

という結果になります。
これは、ニュートン力学・重力理論の

 

から求めたものと同じになります。


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