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<<   作成日時 : 2016/10/07 00:01   >>

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"Remarks on the Equivalence of Inertial and Gravitational Masses and on the Accuracy of Einstein's Theory of Gravity." の MOVING CLOCKS の続きです。

[移動する時計:MOVING CLOCKS(2−1)]=============================================================

With these assumptions, it is easy to calculate the time before the plates collide after they are released.

これらの仮定で、板が解放後から衝突までの時間を計算することは簡単である。

From the Gauss law it holds that:

ガウスの定理から

 

Since the enclosed Gaussian integrating surface S can be suitably selected, closely following the plate surface A, it is easily seen that for the electrical field intensity E and from it for the force F, which one plate exerts on the other, it is:

周囲を囲むガウス積分面の S を板面 A にほぼ追従して十分に選ぶことができるので、電場の強さ E 、そして、(もう1枚の他の板に及ぼす)力 Fが以下の通りであることを簡単に確認できる。:

 

The same holds for the second charge acting on the first, so the total force with which the plates attract each other is twice the value given in Eq.2.

2番目の電荷に対しても1番目と同じ様に考えるので、板同士が互いに引きつける力は (2) で与えられる値の2倍となる。

Next, it is assumed that the plates have an inertial mass mi and that they are moving toward each other with a very low velocity, so that no relativistic effects apply.

次に、板は慣性質量 mi を持ち、非常に低速で互いの方へ進んでいると見做され、そのため相対論的な効果は適用されない。

Ordinary Newton’s second law can thus describe the motion and the time to plate’s collision can thus be calculated to be:

通常、ニュートンの第2法則は運動をこのように記述することができ、板の衝突時間は以下の通り計算できる。:


 

The process of colliding can now be repeated at will and this device can be considered as a time-measuring clock.

今、衝突プロセスは自由に繰り返されることができ、この装置は時間測定時計と考えることができる。

The inverse of the time to collision is the local clock rate.

衝突までの時間の逆は、局所的時計の刻みである。

================================================================================================

一様に帯電した無限平面板の作り出す電場から
 
となり、(2) 式が出てきます。さらに、「板同士が互いに引きつける力は (2) で与えられる値の2倍となる」ということから、加速度をαとすると
 
であり、2枚の板がくっつくまではお互いに歩み寄るので、a の半分の距離を動くことになります。つまり
 
なので、
 
と (3) 式が出てきます。
(と言うより、無理矢理理屈を付けたという感じで、本当に合っているのだろうか?)




[移動する時計:MOVING CLOCKS(2−2)]===========================================================

In the next step, the above-described clock will be observed from the laboratory frame of reference and thus it will be assumed that both parallel plates are now moving in the Z direction with a constant velocity v.

次のステップでは、上記の時計は実験室系から観測され、両方の平行した板が定常的な速さ v でともに Z 方向に動いていると仮定する。

The laboratory observer at rest in the coordinate system XYZ will observe, in addition to charge, also currents that these two moving charged plates generate.

実験室系観測者は座標系 XYZ に留まり、電荷に加えて2枚の動く板が作り出す電流を観測するであろう。

The currents will cause an additional force to appear in the laboratory observer’s coordinate system.

電流は、さらなる力が実験室系観測者の座標系で現れる原因になる。

From Ampere’s law it holds that:

アンペールの法則から、それは以下のようになる。:

 

Again, since the integrating path P can be suitably selected, the H field is easily found to be:

また、積分経路 P を適切に選べば、H 場が以下の通りであるとすぐにわかる。:

 

The mutual force, with which the plates attract each other, according to the Lorentz force equation, is:

ローレンツ力により、板を引きつける力は、以下の通りである。:

 

where c is the speed of light.

ここで c は光速である。


The time to collision of the moving plates as observed in the laboratory coordinate system is thus equal to:

実験室座標系で観測される板同士の衝突時間は、以下に等しい。:
 
 

This result is expected since it follows from STR after the Lorentz coordinate transformation.

ローレンツ変換後の特殊相対論 STR に従うことからら、この結果は予想される。

This phenomenon is the famous time dilation effect.

この現象は、有名な時間遅れ効果である。

It is nice to know that the simple clock works and produces the expected result.

単純な時計が動いて、期待される結果を生むということを知ることは、素晴らしい。

It is also important to note that the relativistic values for mi and A, as seen from the laboratory reference frame, have been substituted into Eq.7.

実験室系から観測されるように、mi と A の相対論的な値が (7) 式に代えられた点に注意することも重要である。

The inertial mass mi has increased and the area A has shrunk in the Z direction but both with the same coefficient of proportionality, so the effects have cancelled each other and the numerator in Eq.7 remained unchanged.

慣性質量 mi 増加し面積 A は Z 方向で縮んだが、同じ係数による釣り合いで、影響は互いをキャンセルし、(7) 式の分子は不変のままであった。

The motion does not affect the distance “a”, since it is perpendicular to the velocity vector v.

速さベクトル v と直角をなすため、運動は距離 "a"に影響を及ぼさない。

Charge Q also remains constant, since it is an absolute invariant.

絶対の不変量であるため、電荷 Q も一定のままである。

===============================================================================================

 
アンペールの法則は
 
で、内部電流を考える訳ですが、まず速度方向の電荷線密度は Q/L で、それが単位時間に v 動くため、内部電流は v・(Q/L) になり (4) 式が出てきます。
また、積分経路の長さは 2W なので、(4) 式の右辺を 2W で割れば (5) 式が出てきます。さて、
 
力は2倍ということなので、実質的には
 
という大きさになるでしょう。そこで (6) 式は
 
で、同方向の電流は引き合って同電荷は斥け合うので、BはEとはマイナス方向の影響となり、v と B は垂直(sinθ=π/2)になるので外積の大きさとしては v を掛けるだけになります。
(7) 式は質量の増加とローレンツ収縮が相殺して分子は変わらないが、(6) 式から分母は (1-v2/c2) を掛けるということでしょう。
しかし、相対論的質量ってまだ有効なんでしょうかね。本来なら時間の遅れで表わすんですが、この論文ではそういうことになっています。。

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コメント(6件)

内 容 ニックネーム/日時
こんにちは。Synchronicityですかね、Emanさんの掲示板で「併走する荷電粒子のパラドクス」を見かけて、ちょっと計算していましたが、これと同工異曲ですね。でも、時間遅れ効果(time-delay)と書いてあるし、(rst)とはいわゆる"固有"の意味でしょうから、”相対論的質量”とは意識していないような気がします。
明男
2016/10/07 09:10
明男さん、コメントありがとうございます。「併走する荷電粒子」に関しての私の見解は
http://teenaka.at.webry.info/201206/article_34.html
に示してあります。
「パラドクス」というのは、荷電粒子が運動していることと、電線内に流れる電流を同一視していることから生じてくるのだと思います。同極性の荷電粒子が並走しているなら離れていくだけで、それをどんな慣性系から観測してもくっ付くことにはならないでしょう。斥力が引力にはなりようがないでよね。ただ、その引力は小さくなります。その小さくなった分を磁場と名付けたという解釈です。
「電線に電流が流れている場合は、電線内の正イオンの密度と動いている電子の密度は同じで電荷を相殺するので、電線の周りには電場は無いです。これを電子と並走する慣性系から見ると、正イオン間距離はローレンツ短縮で短くなって、電子間距離はローレンツ短縮が解けて電荷密度が相殺されなくなり周りに電場が出てきます。」というような解説が「ファインマン物理学」に書いてありますが、ちょっと考えると平行電流が何故引き合うのか?という疑問に答えるのが難しいのですが。。。
T_NAKA
2016/10/07 17:43
T_NAKAさん、こんばんは。御見解拝見しましたが、私の方はもう一歩進んでいる?のです。Feynmanのモデルは松田先生の解説で既知なのですが、もっとシンプルなモデルの筈の「併走する荷電粒子」に関する完全な記述が何故か見当たらないので、計算してみたのです。御見解では途中に、γ〜1の近似が使われていますが、本来必要ない(任意のγで成立)筈です。私の計算ではぴったりでしたが、キモは「時間の遅れ」でした(合ってればだけどw)。物理的な解釈は仰るとおりと思います。
つまり、low velocityの垣根をとっぱらいたかったのですね、ハハハ。
なお、手順は運動方程式ではなく、直接電磁場のローレンツ変換で行いましたが、EMANさんのところへupするのは今のところ控えてます。チャチャ入れる人が多いもんでw。
明男
2016/10/07 20:59
特殊相対論は電磁気学から要請されたローレンツ変換を力学まで適用させたものだと理解しています。
なので静止系での静電場を素直にローレンツ変換をするのが筋でしょうね。
私は
 http://teenaka.at.webry.info/201206/article_20.html
 http://teenaka.at.webry.info/201206/article_29.html
 http://teenaka.at.webry.info/201206/article_31.html
のように力学のローレンツ変換(エネルギー運動量→力)から理解しています。
「ローレンツ変換で時間が遅れる→運動が遅くなる→力が小さくなった様に認識される」
「この力が小さくなった」というのを磁場の発生と見ている訳ですね。
だから考え方が逆なんですが、面白いと思ってるんです。
T_NAKA
2016/10/07 22:21
勿論、異論はありません。ただ、何故こんな簡単な(物理ではなくて、あくまで)計算を見かけないのか、ということと、私は、逆変換で本当に磁場が消えるのが面白かったです。
明男
2016/10/07 23:07
良く読んでないですが、ここら辺では同じ題材を扱っているようです。
http://www.geocities.jp/mtsugi04/relativity.html
T_NAKA
2016/10/08 12:39

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