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zoom RSS 次に「新しい時空計量:NEW SPACE-TIME METRIC」を読む。(1)

<<   作成日時 : 2016/10/25 00:01   >>

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"Remarks on the Equivalence of Inertial and Gravitational Masses and on the Accuracy of Einstein's Theory of Gravity." の NEW SPACE-TIME METRIC を読んでいきます。

[新しい時空計量:NEW SPACE-TIME METRIC(1)]===================================================
In order to be consistent when working within the curved space-time domain, it is necessary to use Newton’s law written in the curved space-time coordinates.

曲がった時空領域内で矛盾しないためには、曲がった時空座標で書かれたニュートンの法則を使用することが必要である。

It is necessary to use the proper time and the proper distance in the equation.

方程式では固有時間と固有長を使うことが必要である。

It is strange that in Eq.27, which clearly leads to Schwarzschild solution of GTR, only the time was replaced by the proper time, but the coordinate distance was left alone.

明らかに一般相対論(GTR)のシュワルツシルト解を導出する (27) 式において、時間だけが固有時間と取り替えられたが、座標距離は単独で残されたのは奇妙である。

This peculiarity will be corrected in this section.

この異常な点はこの章で修正される。

The relationship between the coordinate and the proper distance is easily found and together with Newton’s equation substituted into Eq.33.

座標と固有距離の関係は簡単に見つかり、ニュートンの方程式と共に(33)式を代える。

The goal is to obtain the new and correct metric for the space-time of the central gravitating mass.

ゴールは、中心に重力源を持つ時空の新しく正しい計量を得ることである。

It will be assumed that the proper distance ρ(x) is a function of only the coordinate distance x for the static case that is considered here.

固有距離 ρ(x) は、ここで考察される静的ケースの座標距離 x だけの関数であると仮定される。

Newton’s equation written in terms of the proper distance and the proper time is as follows: (38)

固有距離と固有時間で記述されるニュートンの方程式は以下の通りである:
 

From Eq.26, the proper distance is defined by the following differential equation: (39)

(26) 式から、固有距離は、以下の微分方程式によって定義される: (39)
 

By carrying through the differentiation as indicated in Eq.38, the following relation is obtained: (40)

(38) 式で示される微分を実行することによって、以下の関係は得られる:
 

In the next step, differentiating Eq.39 with respect to x, substituting the result into Eq.40, and using Eq.31,the result, after some rearrangement, becomes: (41)

次のステップにおいては、x に関して (39) 式を微分し、(40) 式に結果を代入し、(31) 式を使って、いくらかの再整理後、結果は次式になる: (41)
 

From Eq.31 also follows that: (42)

(31) 式からも、次式が出る
 

Eliminating the second derivative of x from these two equations results in the following: (43)

これらの2つの方程式から x の2階微分を除くと結果は次式になる:
 

This equation can now be easily integrated.

この方程式は、簡単に積分することができる。

Assuming again that at large distances from the origin the space-time is flat, the result for B, expressed as a function of the proper distance, using the Schwarzschild radius to simplify the notation, becomes: (44) where (45)

再び原点からの大きく離れた距離で時空が平らであると仮定して、B(シュワルツシルト半径を用いて固有距離の関数として表される)の結果は、表記が単純化され次式となる:
 
ここで(45)
 

From this result the new metric line element for the spherically symmetric and static gravitational field should be: (46) where a Radius function R(ρ) has been introduced into the metric in accordance with the theorem derived in reference.

この結果から、球対称の静的重力場の新しい計量の線要素は、以下の通りでなければならない:
 
ここで、半径の関数 R(ρ) は基準から定理に従って計量に導入された。 

Unfortunately, Newton’s law will not help to determine the Radius function in the metric line element and some other physical reasoning will have to be used to find it.

残念なことに、ニュートンの法則は計量の線要素で半径の関数を決定するのを助けにならず、他の物理的な推理を用いられなければならない。

It will be considered that the Radius function, or more precisely the metric coefficient standing by the angular coordinates, can be determined by minimizing the energy of the gravitational field in the space around the gravitating body.

重力源の周りの空間の重力場のエネルギーを最小にすることにより、半径の関数、または角座標によって示されるより正確な計量係数が決定されるに違いないと考察される。

This assumption is in a sharp contrast with the Einstein’s approach, where the Riemannian curvature instead of the field energy is minimized.

この仮定は、場のエネルギーの代わりにリーマン曲率を最小化するアインシュタインのアプローチとは鋭い対照である。
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まず、(26) 式から
 
なので、右辺第二項をゼロとすると
 
と、(39) 式が出てきます。また
 
なので、これを (38) 式の左辺に代入すると、(40) 式となります。
また、(39) 式から
 
なので、これと (31) 式を (40) 式の左辺に代入すると
 
なので、少し整理すると
 
で、全体に 2eB/2 を掛けると (41) 式が出てきます。
また (31) 式は
 
と書けるので、両辺をτで微分することを考えます。まず、左辺は
 
であり、右辺は
 
なので、全体を dx/dτ で割ると (42) 式が出てきます。 この (42) 式を (41) 式の左辺に代入して整理すると
 
となりますが、(39) 式を考慮すると (43) 式となります。
この (43) 式は (45) 式を意識すると
 
なので、積分すると
 
であり、
 
なので、K = 1 となり
 
となるでしょう。これから、時空計量は
  
となります。

今日はこの辺で。。

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