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zoom RSS 次に「曲がった時空:CURVED SPACE-TIME」を読む。(2)

<<   作成日時 : 2016/10/19 00:01   >>

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"Remarks on the Equivalence of Inertial and Gravitational Masses and on the Accuracy of Einstein's Theory of Gravity." の CURVED SPACE-TIME を続けます。

[曲がった時空:CURVED SPACE-TIME(2-1)]========================================================
To find the solution of this system of equations is not difficult, but somewhat tedious.

方程式のこのシステムの解を見つけることは、難しく、いくらか退屈である。

Certain precautions in the procedure of finding the solution must also be observed.

解を見つける手順の確かな用心も、観察されなければならない。

It proves beneficial to start with EL equation related to the time coordinate, followed by the coordinate constraint equation, and finally followed by solving the last EL equation.

まず第一に時間座標に関連したEL方程式が有益であるということを証明し、座標制約式と、最後のEL方程式を解くことによって、最後に確認される。

This procedure thus first leads to: (29)

この手順は、最初に次式を導く:
 

Eq.29 can be easily integrated and using the condition that the space-time at infinity is flat, it is possible to
write: (30)

式 (29)は簡単に積分でき、無限遠方の時空が平らであるという状態を使用して、次式のように書くことができる:
 

This result can then be used with Eq.26 to obtain: (31)

この結果に、(26) 式を使うことによって次式が得られる:
 

This procedure has now yielded all the first derivatives of coordinates and ensured that the relativistic constraint and thus LC is satisfied.

この手順により、すべての座標軸の1階微分与え、確実に相対論的制約とローレンツ不変性が満たされることになった。

Finally, the second EL equation leads to: (32)where the prime represents d/dx.

最後に、第2のEL方程式は次式となる:
 
ここでプライム(')は d/dx を表わしている。
===============================================================================================


 
から
 
 
 
  
  
  
  
なので、EL方程式
 
から、
 
ここで K は定数になりますが、遠方ではラグランジアンがミコフスキー形で eA(x) → 1 であり、固有時τと座標時 t の刻みは同じとすると、K = 1 でしょう。(この条件は合っているか?自信がない。。)そうすると、
 
となるでしょう。
さて (26) 式から
 
また、
 
が言えます。またEL方程式
 
から
  
となります。


[曲がった時空:CURVED SPACE-TIME(2-2)]========================================================
By carrying out the differentiation and using Eq.31 and Eq.27, it is possible, after some algebra, to derive the following simple result: (33)

微分と、(31)(27)式を使うことによって、若干の代数計算の後、以下の単純な結果を引き出すことができる:

 

The use of Eq.27 for the second derivative of coordinate x in Eq.32 is the crucial step in obtaining the correct solution.

(32) 式の x の2階微分のために (27) 式を使うことは、正しい解を得るための重要なステップである。

If the second derivative were, for example, calculated from Eq.31 the result would be that any functions A(x) and B(x) satisfy the equations.

たとえば、2階微分が (31) 式から計算されるとすると、結果は A(x) と B(x) がどんな関数でもこれらの方程式を満たすであろう。

This is understandable, since all the free falling coordinate systems, which transform out the force of gravity, are equivalent.

重力が消去されているすべて自由落下系は等価なので、これは理解できる。

The system of equations for the functions A(x) and B(x) without Eq.27 is thus not well defined.

(27) 式なしでは、関数 A(x) と B(x) の方程式のシステムははっきりとは定義されない。

To specify the second derivative is,therefore, an interesting necessary and a crucial requirement for finding the functions A(x) and B(x).

したがって2階微分を指定することは、関数 A(x) と B(x) を特定するための興味深い重要な条件である。

Appendix A explains that for a correct relativistic Lagrangian in the laboratory coordinate system it can be also specified that: (34)

付録Aでは、実験室系の正しい相対論的ラグランジュ関数のために、以下の式が指定されることを説明している:

 

This condition actually guarantees that the Jacobian of the coordinate transformation from the free falling test body coordinate system to the laboratory coordinate system is equal to unity.

自由落下する試験物体の座標系から実験室座標系への座標変換のヤコビ行列式が単一であることを、この状態は実際に保証する。

Using this condition in Eq.33 leads to a simple differential equation for B(x).

(33) 式でこの状態を使うと、B(x) のために単純な微分方程式を導く。

This is easily solved when the initial condition of flat space at large distances is again used: (35)

かなりの距離において平らな空間の初期条件が再び使われるとき、これは簡単に解決される:


===============================================================================================

まず (32) 式の左辺を計算します。
 
この右辺に (31) 式と (27) 式を適用すると
 
  
となり、 (32) 式は
 
  
となります。これを移項整理すると
 
と (33) 式が出てきます。
さて付録Aで出てきた関係 (今一つ納得していないのですが、、)を (33) 式に適用すると
 
というような変数分離形の微分方程式になります。これを積分すると
 
となりますが、遠方ではラグランジアンがミコフスキー形で eB(x) → 1 であることを考えると、K = 1 でしょう。よって、
 
となりました。

今日はこの辺で。。
 

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