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<<   作成日時 : 2016/10/17 00:01   >>

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"Remarks on the Equivalence of Inertial and Gravitational Masses and on the Accuracy of Einstein's Theory of Gravity." の CURVED SPACE-TIME に入ります。

[曲がった時空:CURVED SPACE-TIME(1-1)]==========================================================
To proceed further in investigation of the structure of the new space-time, where the gravitating mass depends on velocity according to Eq.14, it will be necessary to use a more powerful analytical tool.

さらに (14) 式に従って速度依存する重力質量が作る新しい時空構造の研究を続行するために、より強力な分析的ツールを使用することが必要である。

Let’s consider again a central gravitating body placed in the origin of the XYZ coordinate system and find the Lagrangian for the motion of a small test body.


Newton’s second law and Newton’s gravitation law lead to the following equation: (22) where, for simplicity, it was considered that the test body moves only along the X direction.


The generalization to spherical coordinates and any arbitrary motion is a simple matter, but unnecessarily clutters the notation.


By using the expressions from Eq.14 and Eq.15 for the mg and mi and by introducing the proper time dτ = dt √(1-v2/c2) , it is possible to write the following two equations instead ofEq.22. (23) (24)

mg と mi の(14)(15)式の表現と固有時 dτ = dt √(1-v2/c2) 用いて、(22) 式の代わりに以下に2つの方程式を書くことができる。

The rest mass m can be factored out from Eq.23 and this signifies that the motion is independent of mass.

静止質量 m は (23) 式から外へ因数として出すことができ、これは運動が質量から独立していることを示す。

The new mass equivalence principle made this possible and transformed the Newton’s gravitational law into a form that is LC compatible.


However, the domain is still a flat space-time as indicated by Eq.24 and in such a flat spacetime it is not possible to construct the desired Lagrangian.

しかし、(24) 式によって示される領域はまだ平らな時空であり、そのような平らな時空では望ましいラグランジュ関数を造ることができない。

To proceed further it is necessary to transfer the considerations to a curved space-time.


It is interesting to note that the LC of Newton’s gravitational law clearly demands a curved space-time.


なので、(22) 式は
となり、(23) 式が出てきました。また、
なので、(24) 式が出てきました。

[曲がった時空:CURVED SPACE-TIME(1-2)]==========================================================
The first step in generalization is to replace the flat space proper time by the curved space proper time.


As a second step it will be assumed that the hypothesis of locality is valid.


This means that the gravity can be locally transformed out by a free fall of the coordinate system with the body and that at any instant the coordinate transformation from the moving to the laboratory coordinate system is LC.


Finally, it will be considered that since the central gravitating mass Ms is stationary and spherically symmetric, the metric of the curved space-time will also be spherically symmetric and will be time independent.

最後に、中心に引力源の質量 Ms が留まり球対称であることと、曲がった時空の計量も球対称であり時間に独立であると考えられる。

To find the laboratory coordinate system Lagrangian for the motion of a test body in this static gravitational field,the Lagrangian can be considered in the following general form as described in appendix A: (25)
where the functions A(x) and B(x) are any arbitrary functions of coordinate x satisfying certain conditions as also described in appendix A.

この静的重力場で試験物体の運動の実験室座標系ラグランジュ関数を見つけるために、このラグランジュ関数は付録 A で定める一般形で考慮することができる:
ただし付録 A でも記述されるように、関数 A(x) と B(x) は特定の状況を満足している座標 x の任意関数である。

A beautiful theorem that proves this assertion quite generally for all spacetime coordinates can be found in the literature.


The exponential factors in Eq.25 represent the metric coefficients.

(25) 式における指数因子は、計量の係数を意味する。

The Lagrangian in Eq.25 has now enough free coefficients to accommodate Newton’s gravitational law.

(25) 式のラグランジュ関数は、ニュートンの重力法則を収めるのに十分な自由係数を持つ。

To find the equations of motion and the space-time metric, it is necessary to solve the following set of equations: (26)(27) and the Euler-Lagrange (EL) equations for both the time and the space coordinates that follow from the Lagrangian:(28)


Eq.26 is the relativistic coordinate constraint and Eq.27 is Eq.23 where the rest mass was factored out.

(26) は相対論的な座標制限で、(27) は (23) の静止質量を因子として外へ出したものである。

More complex force dependence on x is also possible to consider here.


For example, a static cosmology with the known radial mass distribution would lead to a different function for the second derivative.




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