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## 相対論的量子力学のお勉強（５-０）_電磁場の中の荷電粒子

<<   作成日時 ： 2016/09/23 00:01   >>

 今回から新しい話題「電磁場の中の荷電粒子」に入るのですが、その前に今後使う関係式を計算しておきます。 (1) 　$\left [ p_{i}-\frac{e}{c}A_{i},p_{j}-\frac{e}{c}A_{j} \right ]= \left [ p_{i}, p_{i}\right ]-\frac{e}{c}\left \{ \left [ p_{i},A_{j} \right ] +\left [ A_{i},p_{j} \right ]\right \}+\frac{e^{2}}{c^{2}}\left [ A_{i},A_{j} \right ]$ 　　　$= -\frac{e}{c}\left \{ \left [ p_{i},A_{j} \right ] +\left [ A_{i},p_{j} \right ]\right \}= \frac{e}{c}\left \{ \left [ A_{j},p_{i} \right ] -\left [ A_{i},p_{j} \right ]\right \}$ よって 　$\left [ p_{1}-\frac{e}{c}A_{1},p_{2}-\frac{e}{c}A_{2} \right ]= \frac{e}{c}\left \{ \left [ A_{2},p_{1} \right ] -\left [ A_{1},p_{2} \right ]\right \}$ 　$\left [ p_{2}-\frac{e}{c}A_{2},p_{3}-\frac{e}{c}A_{3} \right ]= \frac{e}{c}\left \{ \left [ A_{3},p_{2} \right ] -\left [ A_{2},p_{3} \right ]\right \}$ 　$\left [ p_{3}-\frac{e}{c}A_{3},p_{1}-\frac{e}{c}A_{1} \right ]= \frac{e}{c}\left \{ \left [ A_{1},p_{3} \right ] -\left [ A_{3},p_{1} \right ]\right \}$ (2) 　$\left [ A_{j},p_{i} \right ] \phi = A_{j}\left ( -i\hbar\frac{\partial \phi }{\partial x_{i}} \right )+i\hbar\frac{\partial (A_{j}\phi) }{\partial x_{i}}$ 　　$= -i\hbar A_{j}\frac{\partial \phi }{\partial x_{i}}+i\hbar\frac{\partial A_{j} }{\partial x_{i}}\phi+i\hbar A_{j}\frac{\partial \phi }{\partial x_{1}}= i\hbar\frac{\partial A_{j} }{\partial x_{i}}\phi$ 　よって 　$\left \{ \left [ A_{j},p_{i} \right ]-\left [ A_{i},p_{j} \right ] \right \} \phi = i\hbar\left ( \frac{\partial A_{j} }{\partial x_{i}}-\frac{\partial A_{i} }{\partial x_{j}}\right )\phi$ 　つまり 　$\left [ A_{j},p_{i} \right ]-\left [ A_{i},p_{j} \right ] = i\hbar\left ( \frac{\partial A_{j} }{\partial x_{i}}-\frac{\partial A_{i} }{\partial x_{j}}\right )$ ということがいえます。 具体的には 　$\left [ A_{2},p_{1} \right ]-\left [ A_{1},p_{2} \right ] = i\hbar\left ( \frac{\partial A_{2} }{\partial x_{1}}-\frac{\partial A_{1} }{\partial x_{2}}\right )$ 　$\left [ A_{3},p_{2} \right ]-\left [ A_{2},p_{3} \right ] = i\hbar\left ( \frac{\partial A_{3} }{\partial x_{2}}-\frac{\partial A_{2} }{\partial x_{3}}\right )$ 　$\left [ A_{1},p_{3} \right ]-\left [ A_{3},p_{1} \right ] = i\hbar\left ( \frac{\partial A_{1} }{\partial x_{3}}-\frac{\partial A_{3} }{\partial x_{1}}\right )$ ですが、 　$\boldsymbol{B}= \mathrm{rot}\boldsymbol{A}$ を考えると、 　$\left [ A_{2},p_{1} \right ]-\left [ A_{1},p_{2} \right ] = i\hbar B_{3}$ 　$\left [ A_{3},p_{2} \right ]-\left [ A_{2},p_{3} \right ] = i\hbar B_{1}$ 　$\left [ A_{1},p_{3} \right ]-\left [ A_{3},p_{1} \right ] = i\hbar B_{2}$ となります。 (1)と(2)から 　$\left [ p_{1}-\frac{e}{c}A_{1},p_{2}-\frac{e}{c}A_{2} \right ]= i\frac{e\hbar}{c}B_{3}$ 　$\left [ p_{2}-\frac{e}{c}A_{2},p_{3}-\frac{e}{c}A_{3} \right ]= i\frac{e\hbar}{c}B_{1}$ 　$\left [ p_{3}-\frac{e}{c}A_{3},p_{1}-\frac{e}{c}A_{1} \right ]= i\frac{e\hbar}{c}B_{2}$

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