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zoom RSS 質量とエネルギーの関係_アインシュタインの説明

<<   作成日時 : 2016/08/09 00:01   >>

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何のことはない E = mc2 をアインシュタインはどの様に説明していたのか?を備忘録として書いておきたいと思います。

1つの粒子(質量 m1)が、ある慣性系 K1 で静止していたとします。ある時点で左右に1個ずつの光子(エネルギー ε= hν)を放出して質量が m2 になったとしましょう。

 光子放出前の質量 m1 の粒子のエネルギーの総量を E1
 光子放出後の質量 m2 の粒子のエネルギーの総量を E2

とすると、
 
この慣性系 K1 に対して角度θで速度 v で動く慣性系 K2 で (1) 式の状態を見た場合
 
となるでしょう。ここで

 E1(v) :  K1 での E1 を K2 で観たもの
 E2(v) :  K1 での E2 を K2 で観たもの

であり、光子のエネルギー εは K2 で観ると、逆方向と順方向では ε' と ε" と変わってきます。
つまり、ドップラー効果で周波数が変わってしまうので「光のドップラー効果_備忘録」を参考にすると、
 
 
なので、
 
となり、角度θには依存しないで
 
です。ここで、(2) 式から (1) 式を引いて、整理すると
  
となりました。
この (3) 式の左辺の E1(v)-E1 も E2(v)-E2 も運動している状態の総エネルギーから静止している状態のエネルギーを表していて、「運動エネルギー」とみて良いでしょう。v が光速 c に比べて小さいならば、ニュートン力学で考えて
左辺:
 
となり、右辺の括弧の中は
 
なので、
 
つまり、
 
あるいは
  
で、質量とエネルギーの関係 E = mc2 が示されました。

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