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zoom RSS 「ガウス波束の前準備」の疑問はEMANさんの「趣味で量子力学」に書いてありました。

<<   作成日時 : 2016/08/05 00:01   >>

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ガウス波束の前準備 の最後で「これは複素積分を考えなくてよいものかなぁ?といつも思うのですが。。。」という疑問を呟いていたのですが、EMANさんの趣味で量子力学の「付録D.ガウス分布のフーリエ変換」に答えがありました。参考にさせていただいて、私のケースに則して書いてみたいと思います。

私の疑問は
 
という結果から
 
と言って良いか?ということです。
下の積分は被積分関数に複素数を含んでいるのに積分範囲が実数なので、この結果は有効なのか?と言っても良いでしょう。

うまい積分経路 を見付け、留数定理で
 
を計算すれば良いと考えたのですが、特異点が見つからないので止めてしまったのです。

しかし解決法は、そういうことではなくて、特異点が無いので
 
ということから、うまい を見付けて、
 
に持ってくることを考えることでした。

さて、その周回積分路 は次の通りです。
画像
 
 
であり、周回積分路 の内部には特異点が存在しないので、
 
となります。
ここで 各々の積分経路で計算したものをさらに としたときの値を検討してみます。
 
 
 
 
つまり、
 
から
 
であることが分かりました。ガウス波束の前準備 からこの式の右辺は なので、
 
ということになります。

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