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zoom RSS 相対論的量子力学のお勉強(1)_古典論での準備

<<   作成日時 : 2016/08/26 00:01   >>

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本当なら「相対論的量子力学のおさらい」としたかったのですが、良く考えたらちゃんと勉強したことなかったので、「お勉強」としました。まあ、知っていることをやっても面白くないんで、積読になっていた「ハイゼンベルグ形式による量子力学」という本の「相対論的量子力学」を参考にお勉強して行きたいと思います。

この本は 1980年に講談社から出版されていて、訳者の中川昌美先生は 2001年に永眠されているようですね。

さて、本題に入りましょう。

dq を、観測者 O により測定された時間 dt における粒子の変位としましょう。
そうすると、
 
は不変量となり、O に対して等速運動する別の観測者 O' にとっても同じ値となります。

また、前記事から、
 
なので、
 
となります。

次にラグランジアンですが、単一の粒子に対しては、強制力が存在しなければ
 
となるとのこと。
が小さいときには、
  
で -mc2 は定数なので、 
 
というニュートン力学の自由粒子の運動方程式が出てきます。したがって、ニュートン力学と矛盾している訳ではなく、上手く繋がっていることになります。


さらに、ここに電磁場
 
を考えましょう。スカラーポテンシャル φ とベクトルポテンシャル A を使うと
 
であり、ローレンツではなくローレンス条件
  
を課します。

そうすると、ラグランジアンは
 
ということになります。ここで、
 
なので、
 
となり、ラグランジュ方程式(運動方程式)は
 
となります。まとめると、
  
です。
これを見ると第1式を時間で微分すれば、第2式と関係付けが出来そうですね。まず第1式から
 
 
まとめると、
 
となりました。
次に第2式を変形すると
 
から
 
です。(a) = (b) から、
 
という関係が出てきます。表現を変えると
 
です。ここでベクトルの公式
 
を使うと
 
ですが、演算子 に作用するとゼロになるので、
 
となり、これから
 
なので、(c)式は
 
となり、運動方程式が導出されました。
左辺の[ ]の中は相対論的運動量であり、運動量の時間微分なので「力」になり、右辺は電場からの力と磁場によるローレンツ力で辻褄が合う結果となりました。

最後に、エネルギーに対応するハミルトニアンを求めてみましょう。
 
  
  
  
 つまり、
 
となります。右辺の第1項は静止エネルギーと運動エネルギーを示し、第2項はポテンシャルエネルギーになります。

ここで、
 
と変形して、 についてまとめてから γ を計算すると
 
となります。これを使うとハミルトニアンは
 
となります。
量子力学に移行するためには、この形が重要となります。

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