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zoom RSS 「ローレンツ変換における位置と速度の内積と外積」を再掲

<<   作成日時 : 2016/08/22 00:01   >>

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ちょっと思うところがあってローレンツ変換における位置と速度の内積と外積をTexで書き直して再掲したいと思います。

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実は、相対論的量子力学を真面目に勉強してみようかと思い本を読み始めたのですが、いきなり躓きました。
「位置ベクトルと(相対)速度ベクトルの外積がローレンツ変換で保存する」というのがぴんと来なかったのです。ここで、考えてみましょう。

その本にはいきなり、
  
  
と書いてあるのです。ここで最後の式が「そうだっけ?」という感じですね。

確かに、ブースト方向をx軸に平行にとると、
 
なので、
 
から、
 
  
が成立することが分かります。
では任意の方向にブーストしている場合はどうなるのでしょう?
それにはローレンツ変換式自体がどうなるかを考えなくてはいけません。
これは、以前にブースト方向を任意とした場合のローレンツ変換式という記事で示してあるとおり、
 
となります。

[内積]
 
となり、上掲の式が成立します。

[外積]
 
という式の
 
という部分はベクトルではなく、単なる実係数なので、これをαとすると、
 
と書けます。よって外積は
 
となり、上掲の式が成立します。

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