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zoom RSS 質量とエネルギーの関係_光を使わない説明

<<   作成日時 : 2016/08/18 00:01   >>

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「質量とエネルギーの関係_アインシュタインの説明」では、光量子仮説を使っています。つまり、相対論の中だけでクローズしていなくて量子論を使っているので、ちょっとフェアじゃない感じです。
力学の中だけで説明できないか?というので、「相対論 : 新しい発想で学ぶ マーミン [著],町田茂 訳」の "4 E = mc2" の内容を自分なりに読んでいきたいと思います。

1つの粒子(質量 m1)が、ある慣性系 K1 で静止していたとします。ある時点で左右に2つの同じ粒子1個ずつを放出して質量が m2 になったとしましょう。

 放出前の質量 m1 の粒子のエネルギーの総量を E1
 放出後の質量 m2 の粒子のエネルギーの総量を E2
 放出した質量 m3 の粒子のエネルギーの総量を E3

とすると、
 
この u は放出した粒子の速度です(2つの粒子は同じ質量、同じ速さで反対方向に飛んでいきます)。 
この慣性系 K1 に対して角度θで速度 v で動く慣性系 K2 で (1) 式の状態を見た場合
 
となるでしょう。ここで角度がある場合の速度の加法則」の結論
 
を参考にすると、
 
 
であり、対応するローレンツ因子は各々
 
 
となります。
さて、放出された粒子は光速を超えることはできないので、そのエネルギー総量はローレンツ因子の関数と考えて良いとのことです。
 
(本音を言うとこれはちょっと我田引水過ぎで、無理やりな気がしますが、、)
この理屈から、(2) 式の右辺は
 
であり、このままだと角度θに依存していることになりますが、「質量とエネルギーの関係_アインシュタインの説明」のときのように、角度θに依存しないことが予想されます。
そのためには関数 f が
 
という1次関数になっている必要があります。
例えば
 
だとすると、
 
となって、y の依存性が残ってしまいます。これは1次を除く2次以外でも同じことです。そうすると
 
のような形になるのですが、
 
となるような、静止時のエネルギー総量 E3 を定義して、定数 b を書き直すと
 
となりますが、これは E3(u) に限らずエネルギー総量の一般的な表現となるべきでしょう。
この式において次の K3(u) は運動エネルギーを示していることになります。
 
c ≫ u の場合は次のように近似できます。
 
これが、ニュートン力学の
 
に相当するため
 
という関係が出てきます。
そうすると (2) 式の左辺は
 
  
ですが、(1) 式を加味すると
 
  
また (2) 式の右辺は 
 
  
なので、両辺で同じ項を除くと
 
で、もう少し変形すると、
 
から
 
であり、
 
となります。
つまり、
 
さらに、
 
この式は
 「粒子2の静止エネルギーは、粒子1の静止エネルギーから2個の粒子3の静止エネルギー総量と運動エネルギーを差し引いたもの」
あるいは
 「粒子2の質量は、粒子1の質量から2個の粒子3の質量と運動エネルギー(あるいは質量換算したもの)を差し引いたもの」
という意味にとれます。
まあ、ここまでで最初の目的は達したと思うのですが、ネタ本はもう少し続いています。しかし、この辺にしておきます。

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