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zoom RSS Schwarzschild 時空での自由落下の記事には問題ないか?

<<   作成日時 : 2016/07/04 00:01   >>

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確率力学にもちょっと飽きてしまったので、相対論の話題を少し考えます。
というのも、「自由落下をもう少し考えてみた。。」を少し分かり易くして再掲という記事を書いているのですが、これは測地線方程式に矛盾がないのか?という疑問が出てきてしまいました。
クリストッフェル記号は(c = 1 としているので少し工夫が必要ですが )Schwarzschild 計量での Christoffel 記号(2)で求めていますので、これを参考にチェックすることにしました。

ここでは dθ= dφ= 0 として、r 方向の落下だけを考え、 Christoffel 記号がゼロでない部分のみ拾うと、測地線方程式は
 
 
となるでしょう。
もう少し書き下すと
 
 
となります。
これらの式が「自由落下をもう少し考えてみた。。」を少し分かり易くして再掲で導出したものと同等か?ということを確認しましょう。まず「自由落下をもう少し考えてみた。。」を少し分かり易くして再掲から
 
という関係式を持ってきて、両辺をτで微分します。
 
さらに、両辺に r/(r-a) を掛けると
 
という最初の測地線方程式が出てきました。
 
次に
 
から、
 
また、「自由落下をもう少し考えてみた。。」を少し分かり易くして再掲から
 
なので、これらを第二の測地線方程式の左辺に代入すると、
 
  
つまり、
 
が第二の測地線方程式と同等なことになります。
ここで、「自由落下をもう少し考えてみた。。」を少し分かり易くして再掲から
 
なので、両辺をτで微分しますと
 
となり、先ほどの第二の測地線方程式が成立することが分かりました。

つまり、「自由落下をもう少し考えてみた。。」を少し分かり易くして再掲Schwarzschild 計量での Christoffel 記号(2)が整合することが分かりました。
測地線は停留性から出てくるので、ラグラジアンから求めているものと同じになって当然ですね。
なので、ここでは計算が間違っていないか?を確かめたまでです。

しかし、測地線方程式から粒子の運動を導出するのは大変ですね。
「自由落下をもう少し考えてみた。。」を少し分かり易くして再掲の方法がより簡単に求まると思いました。

さて、
 
において、
 
であることと、遠方では「固有時≒座標時」という観点から簡単に
 
出てきてしまいますね。。
「自由落下をもう少し考えてみた。。」を少し分かり易くして再掲は少し考えすぎかも知れません。。

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