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zoom RSS 波束モデルを考える(2)

<<   作成日時 : 2016/07/26 00:01   >>

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前記事同様波束モデル_(2)を書き換えて再掲します。

「波束モデル_(2)」----------------------------------------------------
前回の説明では、 を Gauss 分布で閉じ込めて を作りました。
これは のエンベロープを Gauss 分布で押さえたことになるので、波数は と同じと思ってしまいます。
しかし、Gauss 分布で閉じ込めて空間的に限定してしまったので、周期性が無くなってしまいました。
周期性のある関数はフーリエ級数に展開出来て、基本波と高調波(基本波の波数の整数倍の波)の合成で表せて、そのスペクトラム分布は飛び飛びになることが分かっています。
では周期性の無い場合はどうなるのでしょうか?これは連続スペクトルになります。

つまり、波数 以外の波が組み合わさっていて、その波数は連続にベターっと分布していることになります。これはフーリエ積分で求めることになります。
フーリエ積分はフーリエ級数展開の Σ を ∫ にしてベターっとさせたものと考えれば良いと思います。
具体的には振幅 の平面波 の連続的な重ね合わせと見て、
 
と表わせます。 の方は
 
となります。これを計算すると
 
ですが、「ガウス波束の前準備」を参考にすると
 
という結果になりました。これより、
 
となり、これは k = k0 を中心とした、標準偏差 1/(2σ) の Gauss 分布ということです。
これから、
これから、
 
ここで、 から
 
となり不確定性関係が出てきました。
つまり、粒子(波束)を狭い領域に閉じ込めようとすると、波数(運動量)の広がりを大きくしなければならないことが分かります。
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