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zoom RSS Schwarzschild 解導出のおさらい(2)

<<   作成日時 : 2016/05/12 00:01   >>

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そういえば、Schwarzschild 解というより、球対称時空に関して計算していました。

まず、球対称時空のおさらい から計量は

 

と書けることが分かります。ここで、χ というの r を一般化して動径のようなものという意味です。
こういう条件で、クリストッフェル記号とアインシュタインテンソルを計算すると次のようになります。

球対称時空のクリストッフェル記号(1)
球対称時空のクリストッフェル記号(2)
球対称時空のクリストッフェル記号(3)
球対称時空のクリストッフェル記号(4)
球対称時空のクリストッフェル記号まとめ
球対称時空アインシュタインテンソル(1)
球対称時空アインシュタインテンソル(2)
球対称時空アインシュタインテンソル(3)
球対称時空アインシュタインテンソル(4)
球対称時空アインシュタインテンソル(5)
球対称時空アインシュタインテンソル(6)
球対称時空アインシュタインテンソル(7)
球対称時空アインシュタインテンソル(8)
球対称時空アインシュタインテンソル(9)
球対称時空アインシュタインテンソル(10)
球対称時空アインシュタインテンソル(11)
球対称時空アインシュタインテンソル(12)

Schwarzschild 解では

 

ということになりますので、

 

となります。この結果と球対称時空アインシュタインテンソル(11)から、

 

なので、

 
 
 

であり、それ以外はゼロということになります。

さて、Schwarzschild 解の条件として、アイシュタイン方程式から になります。
したがって、
 
 
 
です。

(A)+(B) から
 
ですが、遠方でミンコフスキー時空に近似するため、 で、ゼロに近づくことになります。よって、
  
ということが期待されるでしょう。これらの関係を (C) に適用すると、
 
ですが、左辺は と書けるため、
 
となります(K は「積分定数」)。したがって、
 
となります。
次に具体的に K を決めることになりますが、今日はこの辺で。。

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