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zoom RSS 「反変成分・共変成分」を再掲

<<   作成日時 : 2016/03/11 00:01   >>

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「反変成分・共変成分」という記事を再掲してみたいと思います。

「直線斜交座標」の続きで、反変成分・共変成分を考えます。
(まだベクトルという話は出てきませんので、あくまで座標成分の話です。)
どういうことかと言うと、「直線斜交座標」の記事での座標成分を次のように書きます。



さらに、

 

と定義すると、アインシュタインの縮約を使って

 

となります。
次に 

 

と定義すると、

  

となります。
この \(g_{ij}\) と \(g^{ij}\) から \(g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i} \) となることが分かります。
つまり、\([g^{ij}]= [g_{ij}]^{-1}\) というお互いに逆行列になっているということです。
また、\(\overline{OP}^{2}\) は

 

となります。
さて、\(x^{i}:反変成分、x_{i}:共変成分、g_{ij},g^{ij}:計量\) と呼びます。
これらの議論は \(n\) 次元でも同様に成り立ちます。

反変成分と共変成分が異なるのは斜交座標に限りません。
たとえ直交座標系でも、曲線座標ならば計量は一般に\(\delta _{ij}\)ではなく、座標に依存したものになります。

直線直交座標系を \(X^{i}\) とします。
この変数と対応する変数を \(x^{i}\) とすると、\(X^{i}= X^{i}(x^{1},x^{2},\cdots )\) です。
つまり、点 \(P\) を \(X^{i}\) で表わすこともできますが、 \(x^{i}\) だけで表わすことも出来る訳です。
(例えば、直線直交座標 \(x,y,z\) の代わりに、球面座標 \(r,\theta ,\phi\) を使っても良い訳ですね。)

このとき 

  

が成り立ちます(右辺はアインシュタインの縮約を使っていることに注意)。
さらに、点 \(P\) とそれから無限小だけ離れた点までの距離の2乗は(\(X^{i}\) を用いた座標系では)

 
 
これを、\(dx^{j}\) で表わすと、

 


となります。つまり、\(x^{i}\) を用いた座標系では計量は(上の議論を参考にすれば)

 

となります。

---------------------------------------------------------------------
ここで、\(x^{i}\) を用いた座標系が直交座標ならば \(g_{jk}=\delta_{jk}\) であることを見ていきたいと思います。
\(x^{i}\) が直交座標なら、計量は場所(座標)に寄らないので

 

は「定数」と想像できます。よって、\(x^{l}\) で微分すると

 

ここで、\(l,j,k\) を循環すると、

 

となり、(1)−(2) を計算すると、

 

また、(1) で \(l,j\) を交換すると、

 

となり、これを (3) 式の第 2 項に入れると

 

となります。この式に \(\frac{\partial x^{k}}{\partial X^{m}}\) をかけて、\(k\) について和をとると



となります。ここで、\(m,l,j\) は任意だから、 \(X^{i}\) は \(x^{j}\) の1次結合(+定数)

 

でしかありえないことになります。(ここで話を簡単にするため、\(b_{i}=0\) と考えておきましょう。)

これから、

 

となりますが、\( a_{ij} a_{ik}= \delta _{jk}\) になるには、

 

が成立しなければならなくて、これは「等長変換」を表しています。
等長変換なので、x-座標系は「初めの直線直交座標系(X-座標系)」を回転等して得られたことを示しています。⇒ 「x-座標系もまた直線直交系」となります。
(ちょっと苦しい説明になっています。もうちょっと考えよう。。)
---------------------------------------------------------------------

なお、\(\frac{\partial X^{i}}{\partial x^{j}}\frac{\partial X^{i}}{\partial x^{k}}= g _{jk}\) とおいて、式を辿ると、(5) 式は

 

でクリストッフェル記号となって、曲がった空間の取り扱いに重要な役割をする量となります。

-----------------------------------------------------------------------
反対に、\(g_{ij}\neq \delta_{ij}\) なら、 直線直交座標系ではない可能性があるということになります。
この場合、直線座標であっても、斜交軸になり、反変成分≠共変成分です。

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