T_NAKAの阿房ブログ

アクセスカウンタ

zoom RSS 「Schwarzschild 時空で中の粒子の運動」の再掲(2)

<<   作成日時 : 2016/02/03 00:01   >>

ブログ気持玉 0 / トラックバック 1 / コメント 0

前記事では落下する物体の固有時に注目しましたが、本来の目的である遠方座標でみた場合を考えます。

Schwarzschild時空で中の粒子の運動_(2)の辺りの内容を数式を直しながら再掲していきたいと思います。

まず、前記事で求めた

 

を使うことにしましょう。落下なので、マイナス側を考えて、

 

となるでしょう。
初期条件は前記事と同様と考えて、

 

とします。つまり、

 

であり、

 

となり、 \(K(r_{i})\equiv \left ( \frac{a}{r_{i}-a} \right )^{1/2} \) とすると、

 

であり、\(r_{i} \to r_{f}\) と落下することを考えると、

 

となります。ここでも前記事と同じ変換 \(r= r_{i}\cos ^{2}\theta \; ,\; \theta _{f}= \cos^{-1} \sqrt{\frac{r_{f}}{r_{i}}} \)を施すと

 

なので、

 

ということになります。ここで、

 

から、

 
  

なので、

 

となりました。ここで「簡単な積分の問題_その2 」から

 

なので、

 

で、\(r_{f}=a\) で発散してしまうことが分かります。他の項は発散しないので、Schwarzschild 半径まで無限時間掛かるのはこの項のためだと分かります。
その程度を知るために、\(r_{i}=2a\) から物体を落下させたときに \(r_{f}\) を変化させると \(\Delta t\) がどう変化するかを見ていきたいと思います。式を変形すると、

   

となります。これをグラフにしてみました。

画像


これを見ると、\(Schwarzschild 半径\) の近傍にいたるまでは有限時間と言って良いので、\(Schwarzschild 半径\) に有限時間で到達すると言っても大きな間違いではないことになります。
そして、\(Schwarzschild 半径\) の近傍で赤方偏移により可視光周波数以下になり、見た目にはBHに吸い込まれたようになります。

テーマ

注目テーマ 一覧


月別リンク

ブログ気持玉

クリックして気持ちを伝えよう!
ログインしてクリックすれば、自分のブログへのリンクが付きます。
→ログインへ

トラックバック(1件)

タイトル (本文) ブログ名/日時
微分方程式の初期条件を間違えてしまった。。
「ちょっと微分方程式を解いてみる」で納得のいかない結果になりました。 あもんさんのコメントで、画像掲示板にあもんさんのプログラムがあるのを教えていただき、それを見るとやはり私が勘違いしていることが明確になりました。 そこで記事の計算の見直しを行います。 ...続きを見る
T_NAKAの阿房ブログ
2016/12/30 12:52

トラックバック用URL help


自分のブログにトラックバック記事作成(会員用) help

タイトル
本 文

コメント(0件)

内 容 ニックネーム/日時

コメントする help

ニックネーム
本 文
「Schwarzschild 時空で中の粒子の運動」の再掲(2) T_NAKAの阿房ブログ/BIGLOBEウェブリブログ
文字サイズ:       閉じる