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zoom RSS 「Schwarzschild 時空で中の粒子の運動」の再掲(1)

<<   作成日時 : 2016/02/02 00:01   >>

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BH に落下していく物体を遠方座標でみると、Schwarzschild 半径までたどり着くまで永遠の時間が掛かるということです。

具体的にはどのあたりからスローモーションとなっていくのか?をかつて検討した記事は
Schwarzschild時空で中の粒子の運動_(1)
Schwarzschild時空で中の粒子の運動_(2)
Schwarzschild時空で中の粒子の運動_(3)
です。数式を見やすくして書き直して再掲したいと思います。


「シュヴァルツシルト解のラグランジアン」を再掲 から BH に落下していく物体を考察するために必要な式を抜出しましょう。

 
 
 

落下物体の運動を単純化するために、角運動量 \(m=0\) とします。そうすると、
 
 
 

が残り、微分方程式としては

  

となるでしょう。
よって、遠方座標だけ使うと

 

となります。

さて、ここでは、\(BH\) に落下する物体の固有時に注目します。

まず、初期条件を決めます。
座標時 \(t= t_{i}\)、固有時 \(\tau = \tau _{i}\)で粒子は \(r_{i}(\gt a)\)で停止しているとしましょう。
つまり、

 

なので、\(E^{2}-1+(a/r_{i})=0\) 。よって

 

これを、元の微分方程式に代入すると、

 

となります。固有時 \(\tau\) に注目するため逆数をとって、

 

とし、\(BH\) に向かって落ちていくことを考えるとマイナスを採用して

 

が、ここで使う方程式になります。\(r_{i}\) の位置から \(r_{f}\) まで落ちるまで掛かった固有時 \(\Delta \tau\) とすると、

 

で、この積分を計算することになります。
変数変換を、 とします。
つまり、
  
 

であり、積分範囲は

 

となります。さらに、

 
 

なので、該当の積分は

 
 
 
となりました。
もう一度書くと
 
 

です。

さて、Schwarzschild 半径 \(a\) まで、落下する固有時は \(r_{i} \to r_{f}= a\) なので、

 

ということで「有限時間」で Schwarzschild 半径 \(a\) まで達してしまいます。

今日はこの辺で。。
  

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