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zoom RSS Dirac 本での重力波について(1)

<<   作成日時 : 2016/02/15 00:01   >>

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LIGO での重力波発見があり、Dirac 本ではどう記述しているか?をおさらいしてみました。

これについてはEMANさんのページ「重力波」「重力波の偏極モード」が分かりやすいでしょう。
基本的には平らなミンコフスキー時空の計量テンソルからのずれを考えていけば良いと思います。
同じことだとは思いますが、Dirac 本では、どう書いてあるか気になったので見てみましょう。
まず、前提になるのが曲率テンソルです。(P52 の(11.6)式)

 

ここで、P66の記述から、「(11.6) で \(\rho\) と \(\mu\) を入れかえて \(g^{\rho \sigma }\) をかけ、2次以上の項を省略する」と、((16.4)式)



という関係が出てくるとのことですが、ここは丁寧に式の変形を追ってみましょう。

まず、2次の項を省略して
 
さらに \(\rho\) と \(\mu\) を入れかえ
 
となります。ここに \(g^{\rho \sigma }\) をかけると、
左辺:
 
(最後にゼロとなるのは地球の表面のように物質の無い空間ではリッチテンソルがゼロになるという意味です。この理解は私が考えたもので、Dirac 本に明示的に書いてあるものではありません。まあ間違っているかも知れないということです。)
右辺:
 
なので、右辺=左辺 から(16.4)式が出てきます。

P129 の「33.重力波」では (16.4) 式の添え字を変更して次の (33.1) 式を提示しています。

 
 
ここで、調和座標という話題が出てきます。これについて詳しく勉強すると脇道に入ってしまうので、ここは天下りでこの座標の条件を受け入れます。調和座標 (\(harmonic\; coordinate\)) とは曲がった空間においては直線座標にもっとも近いものだそうです(これについては後で勉強予定)。
さて、調和座標の条件は
 
です。添え字 \(\lambda\) を下げて \(\rho\) に直すと、
 
で、
 
なので(最右辺の変形はちょっと疑問)、
 
となります。これを \(x^{\sigma }\) で微分し、微分について2次の項を省略するなら (33.3)式 

が得られます。また、この式の \(\rho\) と \(\sigma\) を入れかえ
 
という (33.4) 式になります。

必要な式を再掲すると
 
 
 
で、これらを辺々すべて足すと

 

となり、各 \(g_{\rho \sigma }\) がダランベールの方程式を満たすことが分かります。
この解か光速で伝搬する波動を示し、これが「重力波」であるということです。

今日はこの辺で。。

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