T_NAKAの阿房ブログ

アクセスカウンタ

zoom RSS 「シュヴァルツシルト解のラグランジアン」を再掲

<<   作成日時 : 2016/01/31 00:01   >>

ブログ気持玉 0 / トラックバック 0 / コメント 0

シュヴァルツシルト解のラグランジアン_(1)は何かに使えそうなので、書き直してみます。

\(c=G=1\) の自然単位を使い、シュヴァルツシルト半径を \(a\) としてシュヴァルツシルト解を書き下すと
 
となります(西海岸方式で書いています)。
ここからラグランジアンを作るのですが、
 
を使いたいと思います。
実は、かつてこれに対し あもんさん から「問題あり」とのご指摘がありました。
ここでは限定的に使っていきたいと思います。
そうすると、
   
なのですが、通常この場で動く粒子について考える場合は \(\theta = \pi /2\) にして良いので、
 
と言って良いでしょう。
このラグランジアン \(\mathcal{L}\) は時間 \(t\) と方位角 \(\phi\) を顕わに含まれないので、その共役運動量は
 
で、 エネルギー \(E=\left ( 1-\frac{a}{r} \right )\frac{\partial t}{\partial \tau }\) 、角運動量 \(m=r^{2}\frac{\partial \phi }{\partial \tau }\) となります。
一方、
 
から
 
となり、両辺に \( \left ( 1-\frac{a}{r} \right )\) を掛けると
 
です。エネルギー \(E=\left ( 1-\frac{a}{r} \right )\frac{\partial t}{\partial \tau }\) 、角運動量 \(m=r^{2}\frac{\partial \phi }{\partial \tau }\) を使うと
 
となり、まとめると
となり、まとめると
 
となりました。

この式の右辺の各項の意味は

\(第1項\;:\;\left ( \frac{\partial r}{\partial \tau } \right )^{2}\;\rightarrow\;動径方向の運動エネルギー\)

\(第2項\;:\;\frac{m^{2}}{r^{2}}\;\rightarrow\;遠心力ポテンシャル\)

\(第3項\;:\;-\frac{a}{r}\;\rightarrow\;ニュートンポテンシャル\)

\(第4項\;:\;-\frac{am^{2}}{r^{3}}\;\rightarrow\;一般相対論効果\)

となります。

今日はこの辺で。

テーマ

注目テーマ 一覧


月別リンク

ブログ気持玉

クリックして気持ちを伝えよう!
ログインしてクリックすれば、自分のブログへのリンクが付きます。
→ログインへ

トラックバック(0件)

タイトル (本文) ブログ名/日時

トラックバック用URL help


自分のブログにトラックバック記事作成(会員用) help

タイトル
本 文

コメント(0件)

内 容 ニックネーム/日時

コメントする help

ニックネーム
本 文
「シュヴァルツシルト解のラグランジアン」を再掲 T_NAKAの阿房ブログ/BIGLOBEウェブリブログ
文字サイズ:       閉じる