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zoom RSS ラプラシアンの極座標表示を簡単に求める公式

<<   作成日時 : 2016/01/17 00:01   >>

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「趣味で量子力学」の付録で「B.3 二階の偏微分の座標変換」がありますが、なかなか大変ですね。これを比較的簡単な公式で求めてみたいと思います。実は「計量テンソル行列式関係(4)」で示した内容ですが、その部分を再録したいと思います。

その公式は

 

です。ここで

 

ということです。
直交座標を例に考えると

 

なので、

 

という当たり前の結果となります。

さて、これを極座標に当てはめてみましょう。この場合、線素は

 

なので、

 

として、計量テンソルを求めると

 

となります。これは対角行列なので、逆行列はこの対角要素を逆数で置き換えたもので

 

と求めることができます。
したがって、

 
  
  
  
  

となりました。
最後の変形を丁寧にやっていったので、長々となった印象はありますが、座標変換式から求めるよりはずっと簡単です。
まあ、この公式を思い出すかどうか?という問題はありますが。。

 

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