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zoom RSS 最尤推定法

<<   作成日時 : 2015/12/23 00:01   >>

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ここも参考書涌井良幸/涌井貞美「Excel でスッキリわかるベイズ統計入門」の受け売り多いのですが、少しは変えてあります。


「最尤推定法」の説明としてはここが一番分かりやすいかも知れませんね。
このページの内容から抜粋すると、

 尤度 : ある観測データに (あるパラメーターのもとで) 確率論的モデルが「どれぐらいあてはまっているか」を確率で表す尺度
 最尤推定 : 尤度を「手持ちの観測データのもとで,あるパラメーター値が得られる確率」とみなして (つまり尤度が未知パラメーターの関数とみなして),尤度を最大化するようなパラメーター値を探索する推定方法

ちょっと、分かり難いですね。

簡単な例を参考書の方からいただきました。

[問い]=============================================================
あるコインを5回投げてみると、表、表、裏、表、裏の順になった。
このコインが表となる確率 \(p\) を求めよ。
===================================================================

理想的には \(p=0.5\) でしょう。しかし、このコインは少し偏りがあるようで、そうはなっていないようですね。
まず、尤度関数というものを定義しましょう。
この「表、表、裏、表、裏」となる確率は

画像









ちょっと \(L(p)=\: _{5}C_{3}\: p^{3}(1-p)^{2}\) 等と書きたくなるのですが、今回は結果として「表、表、裏、表、裏」となったのですから、組み合わせのケースを考える必要はないです。だから、 \(\: _{5}C_{3}\) 要らないし、求めるものは最適な \(p\) の値なので、付けたとしても結果は変わりません。

さて、 \(L(p)\) を最大にする \(p\) を求めるのですから、微分してゼロと置くことを考えます。
 
から、
 


または
 
からも同様な答えを得られます。

対数をとって微分するほうが良く用いられるようですね。

えーと、そもそも 5回投げて3回表が出た結果しかないので、直観的にも \(3/5 = 0.6\) というのが最適だろうと思いますよね。  
この例は簡単すぎて、ご利益がないのですが、説明のために取り上げました。

今日はこの辺で。。

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