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zoom RSS 「Vessot の実験」の再掲

<<   作成日時 : 2015/10/30 00:01   >>

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Vessot の実験(1)Vessot の実験(2)をまとめて再掲します。

1980 年に行なわれたベゾット(Vessot)の実験の話を勉強します。
「時空の科学」(細谷暁夫著・岩波書店)に載っていた内容です。
 
[実験の概要]========================================
水素メーザー(振動数 \(2203.03MHz\))を搭載したロケットを、ほぼ垂直に上方4万メートルまで打ち上げる。
地上に同型のメーザーを置いて、ロケットから発射された(電磁波)ものと振動数を比較する。
====================================================

図を参照して、もう少し詳細に述べます。
画像


地球の中心から距離 \(r\) の位置にあって、速度 \(v\) で遠ざかるロケットから発する電磁波の固有(角)振動数を \(\omega \) とします。
これを地上で受信すると振動数 \(\omega_{rec} \) とします。

これは当然、\(\omega \neq \omega_{rec} \) となります。
その理由は
@ ロケットの運動によるドップラー効果
A 重力による時間の遅れ
によるものです。

さて、これを解いていくことになりますが、シュバルツシルド計量を使うことになります。



ですが、\(\theta=\pi/2\) として良いので、



です。さらに、ロケットの運動は動径方向なので、\(\phi\) も固定できるため、



になります。ここで、\(ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}\) から、

 

というように簡略化できます。

ここで \(v = dr/dt\) とすると、



ということになります。よって、



であり、



です。煩雑なため、\(\beta \equiv v/c\) を使うと、



なので、


    

となります。

さて、ここで電磁波の(角)周波数について考えなければいけません。
固有周波数 を \(\omega \) とすると、これは固有時 \(\tau \)に対応するので、波数ベクトル \(k_{\mu }\) を考えると



となります。また電磁波(光)の経路は \(ds = 0\) のゼロ測地線なので、波数ベクトルの大きさ(ノルム)はゼロでないといけません。つまり、



ということです。
さて、\(k_{\mu }\) として \((k_{0 },k_{r})\) のみを考えれば良いので、
  


ということになります。つまり、



です。さて \(\omega d\tau = k_{\mu }dx^{\mu }\) から、


   
   

つまり、

 

となります。
一方、これを地上で受信するとその振動数はこの式において \(r \rightarrow R\: ,\: v \rightarrow 0\: (\beta \rightarrow 0)\) とすれば良いので、



ということになります。よって比をとると



です。

右辺の第一因子 \(\sqrt{\frac{1-r_{s}/r}{1-r_{s}/R}}\) → 重力による時計の遅れ(赤方偏移)を表す
第二因子 \(\sqrt{\frac{1-\beta /(1-r_{s}/r)}{1+\beta /(1-r_{s}/r)}}\) → ドップラー効果に重力の補正が付いたものを表す

ということになります。

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実験の結果はめざましいもので、一般相対論からの理論的な予想と百万分の1程度の誤差しか見出せなかった。
一般相対論的効果じたいは \(10^{-12}\) ぐらいの補正であるので \(10^{-14}\) の誤差の時計すなわちメーザーが必要だった。
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