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zoom RSS 「ga043_ナノ物質の不思議な世界」の第3週目に入りました。(1)

<<   作成日時 : 2015/10/26 00:01   >>

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「ga043_究極のナノマシンを作る/ナノ物質の不思議な世界」の第3週「ナノの世界の不思議」に入り量子力学の話題になったので、その中の核心部分の「3-4. 波動関数と二重スリットの干渉実験」の要点を復習してみたいと思います。

まず、お馴染みの二重スリットの干渉実験を図示すると、
画像












ですが、
[引用]------------------------------------------------------------
光子の場合は電子とは違って簡単に物質に吸収されてなくなってしまったり物質から放出されたりしますので、光子の数を1個、2個、3個、、、と数えるような光子数が非常に少ないような状況ではマックスウェルの方程式では記述できなくなってしまいます。
そのような状況では『場の量子論』と呼ばれる非常に難しい理論を使って表すことになります。
一方電子の場合は電子の数が1個でも2個でもちゃんとシュレディンガー方程式を使って表すことができます。
よほどエネルギーが高い状況でなければ電子の数が勝手に変化することはありませんので少し話が脱線しましたが電子を使った二重スリットの話をしていきましょう。
電子を出す電子線源から電子が一個出てきてスリットに向かいます。
簡単のため、電子の進行方向を y 軸進行方向と垂直な軸を x 軸として2次元空間で考えることにします。
------------------------------------------------------------------
ということで電子で考え、z軸方向は無視します。
さらに、電子が電子線源から飛び出してからスリットの位置までは自由空間と考えます。
そうすると、

自由空間(2D)における電子のシュレディンガー方程式

\[
i\hbar \frac { \partial }{ \partial t } \Psi =\left[ -\frac { \hbar ^{ 2 } }{ 2m } \left( \frac { \partial ^{ { 2 } } }{ \partial x^{ { 2 } } } + \frac { \partial ^{ { 2 } } }{ \partial y^{ { 2 } } }\right) \right] \Psi
\]
で、
\[
i\hbar \frac { \partial }{ \partial t } \Psi =\hat { H } \Psi
\]
とも書けます。

この解法ですが

1階線形常微分方程式(同次形)の解

\begin{align*}
i\hbar \frac {d }{ d t } f&=Hf\\
f(t)&= \exp\left( -i\frac { H }{ \hbar } t \right) f(0)
\end{align*}
から類推して

時間依存シュレディンガー方程式の形式解

\begin{align*}
i\hbar \frac {\partial }{ \partial t } \Psi &=\hat { H } \Psi\\
\Psi(\boldsymbol{r},t)&= \exp\left(-i\frac { \hat { H } }{ \hbar } t \right) \Psi(\boldsymbol{r},0)
\end{align*}
根拠は
[引用]------------------------------------------------------------
指数関数は「収束半径」が無限大なので 数だけではなく行列や演算子なども入れることができます。
------------------------------------------------------------------
とのことです。

\(\exp\left(-i\frac { \hat { H } }{ \hbar } t \right) \) の具体的な意味は

時間発展演算子

\[
\exp\left( -i\frac { \hat { H } }{ \hbar } t \right)=1+\frac { 1 }{ 1! } \left( -i\frac { \hat{H} }{ \hbar } t \right)+\frac { 1 }{ 2! } \left( -i\frac { \hat{H} }{ \hbar } t \right)^{2}+\cdots=\sum _{ n=0 } ^{ \infty }
\frac { 1 }{ n! } \left( -i\frac { \hat{H} }{ \hbar } t \right)^{n}

\]

ということになります。
[引用]------------------------------------------------------------
このまま座標空間で考えると、少し面倒なので波動関数をこのようにフーリエ変換して運動量空間に直した形を考えるとこの指数関数の演算子の作用は非常に簡単に計算できます。
------------------------------------------------------------------
ということで、

自由粒子の時間発展演算子と運動量空間での波動関数

\[
\Psi (\boldsymbol{ r },t)=\exp\left( -i\frac { \hat { H } }{ \hbar } t \right) \Psi (\boldsymbol{ r },0)=\exp\left( -i\frac { \hbar t }{ 2m } \nabla^{2} \right) \Psi (\boldsymbol{ r },0)=\exp\left( -i\frac { \hbar t }{ 2m } \nabla^{2} \right) \int \widetilde { \Psi } (\boldsymbol{p},0)\exp\left( i\frac {\boldsymbol{p} \cdot r }{ \hbar } \right) d\boldsymbol{p}
\]
\(\widetilde{\Psi}(\boldsymbol{p})\) は \(\Psi (\boldsymbol{r})\) のフーリエ変換ということで、ここでは
\[
\Psi (\boldsymbol{ r },0)=\int \widetilde { \Psi } (\boldsymbol{p},0)\exp\left( i\frac { \boldsymbol{p\cdot r} }{ \hbar } \right) d\boldsymbol{p}
\]
となりますが、変換には色々な方式があって、 \(2\pi\hbar\) をどうするか?ですね。
EMANさんのページを参考にして考えると
\[
\widetilde {\Psi}(\boldsymbol{p},0)=\frac {1}{2\pi\hbar}\int\Psi(\boldsymbol{r},0)\exp\left(-i\frac{ \boldsymbol{p\cdot r}}{\hbar}\right) d\boldsymbol{r}
\]
のようです。

さて、これをもう少し進めますが、講義では

自由粒子の時間発展演算子と運動量空間での波動関数

\begin{align*}
\Psi (\boldsymbol{ r },t)&=\exp\left( -i\frac { \hbar t }{ 2m } \nabla^{2} \right) \Psi (\boldsymbol{ r },0)=\exp\left( -i\frac { \hbar t }{ 2m } \nabla^{2} \right) \int \widetilde { \Psi } (\boldsymbol{p},0)\exp\left( i\frac {\boldsymbol{p \cdot r} }{ \hbar } \right) d\boldsymbol{p}\\
&= \int \widetilde { \Psi } (\boldsymbol{p},0)\exp\left( i\frac { \boldsymbol{p}^{2} }{ 2m }t \right)\exp\left( i\frac {\boldsymbol{p \cdot r }}{ \hbar } \right) d\boldsymbol{p}
\end{align*}

となっています。
この最後の式変形は合っているんでしょうか?私なりに検算してみたいと思います。
\[
\frac{\partial }{\partial x}\: \exp\left (i\frac{p_{x}x+p_{y}y}{\hbar} \right )= i\frac{p_{x}}{\hbar}\: \exp\left (i\frac{p_{x}x+p_{y}y}{\hbar} \right )
\rightarrow \frac{\partial^{2} }{\partial x^{2}}\: \exp\left (i\frac{\boldsymbol{p\cdot r}}{\hbar} \right )=-\frac{p_{x}^{2}}{\hbar^{2}}\: \exp\left (i\frac{\boldsymbol{p\cdot r}}{\hbar} \right )
\]
から
\[
\nabla^{2}\exp\left (i\frac{\boldsymbol{p\cdot r}}{\hbar} \right )=-\frac{\boldsymbol{p}^{2}}{\hbar^{2}}\: \exp\left (i\frac{\boldsymbol{p\cdot r}}{\hbar} \right )\rightarrow -i\frac{\hbar t}{2m}\nabla^{2}\exp\left (i\frac{\boldsymbol{p\cdot r}}{\hbar} \right )=i\frac{\boldsymbol{p}^{2}}{2m\hbar}t\; \exp\left (i\frac{\boldsymbol{p\cdot r}}{\hbar} \right )
\]
なので、
\[
\exp\left( -i\frac { \hbar t }{ 2m } \nabla^{2} \right) \exp\left( i\frac {\boldsymbol{p \cdot r} }{ \hbar } \right)=\exp\left(i\frac {\boldsymbol{p}^{2}}{ 2m\hbar }t\right) \exp\left( i\frac {\boldsymbol{p \cdot r} }{ \hbar } \right)
\]
であるため、提示された式は少し違っているような気がします。

ちょっと、疲れたので、今日はこの辺で。。


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