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zoom RSS 4.縮退のある場合の摂動論

<<   作成日時 : 2015/06/03 00:01   >>

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これまでは、H0 の n 番目の準位が縮退していない場合を考えてきましたが、縮退も考慮してみたいと思います。

n 番目の準位が縮退しているとして、その固有関数を と表わすことにしましょう。
つまり、非摂動系のシュレディンガー方程式は、n 番目の固有値に対して
 
となります。 は固有値 に属する固有状態の数を表し縮退度といいます。
求めたい波動関数は
 
と表現できます。
ここから摂動論を考えましょう。
 
となるので、この式の両辺と との内積を考えます。
直交することを考えると、添え字が の固有関数は無視できるので、
左辺:
  
    
    
右辺:
 
つまり、
 
となります。
 
を導入すると、
 
と表わされます。
この方程式を行列で表現すると、
 
となりますが、
 
という自明な解以外の解を持つためには
 
という条件を満たす必要があります。
摂動によるエネルギー変化 を決めるためのこの方程式を永年方程式といいます。

この方程式を について解いたとき、0でない異なる 個の解があったとしましょう。
すると、これまで 重に縮退していた固有状態のうち 個は縮退しないことになります。
摂動によって縮退していた準位が異なる値を持つようになることを縮退が解けるといいます。

今日はこの辺で。。

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