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zoom RSS 1.摂動論について

<<   作成日時 : 2015/05/21 00:01   >>

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量子力学を正攻法で勉強していないので、ところどころ抜けた知識があります。良く考えたら「摂動論」をちゃんと勉強していませんでした。それで良く場の量子論なんかやってるのか、自分でもおかしいと思います。
そこで、仕切り直して、まともに勉強していきたいと思います。
まずカテゴリーとして「時間に依存しない場合」を「摂動論T」とし、「時間に依存する場合」を「摂動論U」とします。

摂動論が適用できるのはハミルトニアンが次の条件を満足し、λが十分に小さいときです。

画像









全ハミルトニアン
非摂動ハミルトニアン
\(\lambda H_{1}\) : 摂動のハミルトニアン あるいは 摂動項

仮に
  
が解けたとし(解けないと言っているんだが)、ハミルトニアンの 番目の固有値 とそれに属する固有関数 が分かったとしましょう。
そうすると、 の関数と見做すことができます。
そこでこれらの の関数は
\[
 E_{n}=E{_{n}}^{\left ( 0 \right )}+ \lambda E{_{n}}^{\left (1\right )}+ \lambda^{2} E{_{n}}^{\left (2\right )} +\cdots
\]
\[
\phi _{n}=\phi {_{n}}^{\left ( 0 \right )}+ \lambda \phi {_{n}}^{\left (1\right )}+ \lambda^{2} \phi {_{n}}^{\left (2\right )} +\cdots
\]
とλのべき級数の形で表わすことができるんじゃないかということです。
λ→ 0 なら、H → H0 なので、
\[
H_{0}\phi {_{n}}^{\left(0\right)}=E {_{n}}^{\left(0\right)}\phi {_{n}}^{\left(0\right)}
\]
を満足することになります。
これを足掛かりにして、\(E {_{n}}^{\left(1\right)},E {_{n}}^{\left(2\right)},\cdots\) や \(\phi {_{n}}^{\left(1\right)},\phi {_{n}}^{\left(2\right)},\cdots \)を求めると、最初の方程式
  
を解くことになりますね。
摂動の次数といいます。
が十分小さいと、
\[ 
E_{n}=E{_{n}}^{\left ( 0 \right )}+ \lambda E{_{n}}^{\left (1\right )}+ \lambda^{2} E{_{n}}^{\left (2\right )} +\cdots
\]
\[
\phi _{n}=\phi {_{n}}^{\left ( 0 \right )}+ \lambda \phi {_{n}}^{\left (1\right )}+ \lambda^{2} \phi {_{n}}^{\left (2\right )} +\cdots
\]
の右辺の各項は次数が大きくなるにつれて小さくなっていきますから、これらの展開式の初めの数項だけ求め、あとは微小量として無視しても差支えないと考えられるでしょう。
これが摂動論の基本的な考え方です。

今日はこの辺で。。

 

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