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zoom RSS リー群とそのリー代数(6)

<<   作成日時 : 2015/04/06 00:01   >>

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また話を戻して、3次元回転群 SO(3) について再度考えます。

[引用]-----------------------------------------------------
 任意の について、 は可換群 の元であり、非可換群 の部分群になっている。
  リー群の3次元多様体の基底になっており、群の局所性質を表している。
-----------------------------------------------------------

これを読んだとき、よく理解できませんでした。
 
と思ってしまったので、 の元になるかなぁ?と疑問が生じてしまいました。
これは多分  ということなんでしょうね。。
このように理解すると、各々 x 軸周りの回転群、 y 軸周りの回転群、 x 軸周りの回転群 ということで、可換群になります。また、これは非可換群 の部分群になっていることも理解できますね。

ここで、再度リー代数の形式的な定義を書いておきます。

[リー代数の定義]------------------------------------
線形リー群 が与えられたとき、任意の変数 に対して となる の全体を、リー群 に付随するリー代数(Lie algebla)、あるいは単にリー群 のリー代数という。
1) がリー代数に属するならば、 もリー代数に属する。
2) がリー代数に属するならば、 もリー代数に属する。
3) がリー代数に属するならば、 もリー代数に属する。
----------------------------------------------------

1)に関しては と新しい変数を定義すると、 で、変数の任意性から が言えるということだと思います。

2)に関しては から、
  
 となり、 ということなので、 もリー代数に属するというでしょう、、っと思っていたのですが、どうも話は、そう簡単ではないようです。。

一般的には
  
なので、 という条件がないと、
  
とはならないようです。
これを少し考えてみます。
 
とすると、
 
  
  
ここで、ln のマクローリン展開を想いだすと、
  
なので、
  
ということになります。したがって、
  
  
  
  
  
つまり、
  
ということになります。

もう少し、関連を調べます。
 
 
 
 
から、
 
 
 
 
 
ここで、
 
を使うと、
 
    

また、
 
 
 
 
なので、上と同じ論理で
 
となります。

まとめますと、
 
 
 
です。
これらから[引用]の2)と3)が出てくると思いますが、上手く説明できません。。

今日はこの辺で。。


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