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zoom RSS SU(2)代数とその表現_(3)

<<   作成日時 : 2015/04/14 00:01   >>

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例題を続けます。

[例題2]---------------------------------------------------
 前記事の結果から とを同時に対角化することができる。
 その固有関数を とすると、その固有値は
   
   
となることを示せ。  
-----------------------------------------------------------

ここで、仮の固有値を考えて
 
とします。ここで、 を考慮して左辺に固有関数を作用させることを考えます。
 
つまり、
 
であり、
 
から
 
となり、 を決定すると、 の上限・下限が決まってしまうことになります。

さて、
  
  
つまり、
 
なので、
 
よって、
 
と書けて、固有値が±1されるので、
 
と考えてよいでしょう。比例定数を とすれば
 
とおくことが可能です。  

ここで、話が逸れますが、
 
   
 
    
です。

話を戻して、 のとりうる上限・下限を とすれば
  
なので、まず、左側の式に を作用させると
 
  
次に右側の式に を作用させると
 
   
となり、ここから、
 
という条件が出てきます。ここからさらに
 
   
つまり、条件は
 
ということになります。
ここで、 という前提なので、上の条件式の左辺2番目の括弧の中はゼロでないため、
 
ということになります。
さて、 の順次に可能な差は1なので、上限と下限の差は整数になるので、
 
とおくことにすると、
 
となり、 の可能な値は1つおきに
 
個になります。
さらに、
 
から、
 
となりました。
 
今日はこの辺で。。
 

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