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zoom RSS リー群とそのリー代数(3)

<<   作成日時 : 2015/04/01 00:01   >>

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2次元回転群 O(2) の例の続きを確認していきましょう。

いま、 として、 をマクローリン展開すると、
 
となり、これが O(2) の無限小変換ということになります。
ここで前記事に書いたことを想いだすと、
 
という微分方程式になります。これを解くと
 
となります。これは、微小な回転を積み重ねることによって、任意の回転を表現できていることになります。
説明をこの本から引用してみましょう。
[引用]----------------------------------------------
行列 の全ての元は、上に現れた行列 の指数関数で表わされる。
このような の生成元(generator)と呼ばれる。
行列 とからなる可換代数は「 リー代数」と呼ばれ、 の生成元となっている。
----------------------------------------------------

もう少し具体的な計算は「回転行列はリー群の要素として表せるか?」という記事で以前に扱っていましたね。

さて、後で再度取り上げますが、リー代数の定義を示しておきます。
[リー代数の定義]------------------------------------
線形リー群 が与えられたとき、任意の変数 に対して となる の全体を、リー群 に付随するリー代数(Lie algebla)、あるいは単にリー群 のリー代数という。
----------------------------------------------------
本当はこの後に、リー代数の特性が続くのですが、 ではなかなか把握しにくいので、3次元回転群 のときに、また触れることにします。

今日はこの辺で。。

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