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zoom RSS リー群とそのリー代数(2)

<<   作成日時 : 2015/03/31 00:01   >>

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前記事では概要を述べただけなので、ここでは少し具体的な例を考えてみたいと思います。実際には完全独習量子力学に書いてある「線形リー群の単位元 e の近傍の性質を見る」ということで2次元回転群 O(2) を考えます。

 の具体例として、原点中心の回転行列なので、
 
と表わせます。
 
  
  
つまり、
  
ということで、 の演算が閉じていることが確かめられました。まあ、原点中心の回転行列なので、角度 だけ回転させてから、さらに だけ回転させた結果は、最初から角度 だけ回転させた結果と同じなので、いちいち計算する必要もなかったですね。
また、
 
    
と分配則も成立します。
原点中心の回転行列なので、回転しなければ元の座標なので、
 
が単位元(つまり単位行列)になります。ここから、 なので、
 
という逆元の存在も直ぐに示すことができます。つまり、以上のことで群であることを示すことができました。

さて、後の準備のために、回転行列の微分を考えておきましょう
 
となり、
 
であることが分かります。
面白いことに、
 
つまり、
 
となることにiなります。

今日はこの辺で。。
 

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