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zoom RSS リー群とそのリー代数(1)

<<   作成日時 : 2015/03/30 00:01   >>

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群の定義のおさらい(1)あたりでリー群に触れていますが、もう一度おさらいをしてみます。
昨年完全独習量子力学という本を買って積読状態でした。この本の該当箇所を読んで自分なりに噛み砕いていきたいと思います。
とね日記で とねさん が書評を書かれていますね。それによると後ろの方がかなり難しいようですが、ここいら辺の話題なら私もついていけると思いまして。。)

この本は、この話題の前にちゃんと群の定義から説明していますが、さすがにそこまで戻る気はないので、それについては既知として話を進めることにします。

まず、リー群についてどう書いてあるか?をまとめると、
 粗っぽくいうと、
  「解析的に有用な性質を持つ空間として振る舞う群
 より正確にいうと、
  「積を表す写像
    
   と逆元表す写像
    
   とが共に微分可能な多様体のうち群の公理を満たすもの
ということのようですね。
一例を上げると、3次元ユークリッド空間  。

さて、上に書いてある「解析的に有用な性質」というのは例えばどんなことか?ということを引用してみましょう。

[引用]----------------------------------
 解析的に扱いやすいとは、ある種の「無限小」を考えることができることを表す。
 実際、リー群の無限小変換を考えると、それはリー代数(Lie algebra)というものと関わっている。
 リー群の情報のほとんどはそれに付随するリー代数に含まれ、リー代数のほうが数学的な手続きが簡便になるので、リー代数を用いることは有益である。
----------------------------------------

ここで、「リー群に付随するリー代数」というのが良く分かりませんね。後の記述で定義が書かれているのですが、ここでは「リー代数を用いることは有益」ということを押さえておきます。
ところで、数学が得意ではないので、いきなり「代数」とか言われると、「何のこと?」って思ってしまうのです。
この本の注にはこんなことが書いてありました。

[引用]----------------------------------
 「代数」は多義的であるが、ここでは「任意の2つの元の間に加法と乗法が定義される」「任意の元にスカラー倍が定義される」という性質を持つ集合を代数(algebra)と呼んでいる。
----------------------------------------

なるほど、少し分かったような気がしました。

今日はこの辺で。。

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