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zoom RSS 外部電磁場内の荷電粒子に対するシュレディンガー方程式

<<   作成日時 : 2015/03/11 00:01   >>

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ここから「荷電粒子と電磁場の相互作用」という話題に入っていきます。
まず、標題の方程式を考えます。実は、この件は何べんも取り上げているのですが、おさらいということで再度考察します。

ベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルを用いると、電場と磁束密度は次のようになります。
 
 質量 m 、電荷 q の荷電粒子が外部電磁場 (A,φ) の中にいて、電磁場以外に中心力のポテンシャル V=V(r) が働く場合、運動量 p のとき、古典的ハミルトニアン H は
 
と書けます(MKSA(SI)単位)。展開すると、
 
となります。

ここで、一定磁場 B と位置ベクトル r の外積を考えます。つまり、
 
で一定磁場なので、
 
同様に、
 
となります。つまり、一定磁場という条件ならば、ベクトルポテンシャルとして
 
を採用することができます。

また、運動量 p と(一定磁場 B と位置ベクトル r の外積)との内積を考えます。スカラー3重積の公式により、
 
であり、角運動量 を考慮すると、
 
となります。

ここで、元のハミルトニアンに戻ります。
 
   
   
   
ここで、磁場が小さいと考えて、1次の項まで考えると、近似的にハミルトニアンは、
 
と書けることになります。ここで、
  
とすれば、
 
と書け、右辺第1項を「磁束密度が無い場合のハミルトニアン」、第2項を「荷電粒子と外部磁場との相互作用ハミルトニアン」と呼ばれます。
   
これを量子化するためには、
 
とすれば良いことになります。

粒子と電磁場の相互作用としては、原子核と電子の間のクーロン力など の両者が存在しますが、通常、電気的相互作用に比べ、磁場との相互作用は小さいので摂動として扱います。

今日はこの辺で。。

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