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zoom RSS 「楕円についてのおさらい」を追加・再掲

<<   作成日時 : 2015/02/15 00:01   >>

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楕円についてのおさらいという記事を書いていますが、また引用に必要だと思うので、数式の Tex 化と参照図などを追加して、再掲しようと思います。

楕円を直交座標表示で表わすと、



です。  とおくと、



となり、半径1の円になる訳です。
つまり、x軸方向とy軸方向の縮尺を調整すると、円になるということは、円を縦横に縮めたり伸ばしたりしたものということです。

普通、長径方向をx軸方向、短径方向をy軸方向にとっていますね。
別にこうしなくても良いわけで、傾いていても良いのですが、説明の都合上こうしておきましょう。
(イメージし易いと思います。)
画像

円の場合は常に中心から一定の距離(半径)にある軌跡ですが、楕円にも同様な法則があります。
長径軸に2点の焦点があり、その2点から楕円までの距離の合計が常に一定です。

長径軸上に2点の焦点の座標を とします。

長径軸と楕円が交わる点が ですが、仮にこの中の1点 から焦点までの距離の合計は

 

で、この値 は「長径軸に2点の焦点があり、その2点から楕円までの距離の合計が常に一定」ということの、一定になる値ですね。
画像

このことから反対に、 の値も分かります。
短径軸と楕円の交わる点 と焦点 との距離は です。(y軸で対称なので、
画像

ここで、ピタゴラスの定理から、
 
と、焦点は定数 から決定されることになります。
焦点 の長径 にたいする比率を「離心率 」(eccentricity)といい、 で表わすことが多いです。これは
 
つまり、
 
という関係が分かります。

当然、焦点の座標は、 です。
ここで、一つの焦点 を原点とする極座標 で楕円を表わすことを考えます。
画像

ここで、楕円曲線上にある一点の直交座標を とすると、
 
です。もう一つの焦点 からこの点までの距離は ですから、 ピタゴラスの定理より、
 
です。これを変形していきます。
左辺:
 
  
右辺:
 
よって、 
 
であり、半通径
 
と定義すると、
 
という関係が得られました。

これは太陽のような恒星から、楕円軌道を動く惑星を見たときにつかう極座標となります。
つまり恒星からの距離と角度で惑星の位置を表わすため、天文学の計算では良く使うようです。

この見方では、
近日点   : 
遠日点  : 

となります。

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