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zoom RSS 天体力学のおさらい(2)

<<   作成日時 : 2015/02/11 00:01   >>

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では、具体的な軌道を考えて行きたいと思います。

まず、初めの頃に提示した式を再掲します。z= 0 としたので、
 
ですが、第1式に dx/dt 、第2式に dy/dt を掛けて足し合わせると
 
となります。
さて、 なので、
 
から
 
となります。また、
 
から、
 
です。これらから、
 
 
であり、最終的に
 
となります。これは積分できて、積分定数を E とすると、
 
です。ここで、左辺を極座標で表わすことを考えましょう。
 
から、
 
 
つまり、
 
となります。ここで、
 
と表わされるので、左辺は
 
で、前記事の結論
 
を使うと、
 
なので、
 
となりました。ここで、
 
ということを考えると、上式は
 
 
 
となり、
 
とすると、
  
で、これを積分して、
 
ですが、積分定数を上手く調整して
 
となりました。
ここで、
 
とおけば
 
なので、
 
から、
 
という楕円の式になりました。これはケプラーの第1法則です。
ここで、 は離心率であり、 は半通径であり、半長径 との関係は
 
です。これから、
 
です。ここで、前記事の結果を1/2にした
 
は単位時間に掃く面積なので、1周期 で掃く面積は楕円の面積 となり、
 
となります。
ところで、
 
 
から、
 
となり、これはケプラーの第3法則です。

今日はこの辺で。。

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