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zoom RSS Dirac本「19 ブラック・ホール」のおさらい(4)

<<   作成日時 : 2014/12/26 00:01   >>

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では、後半に入っていくことにしましょう。シュヴァルツシルトの解を r < 2m にまで延長するのでした。

それには、θとφはそのままにして、
 
として、
 
となるように、関数 g,f を決めてしまおうということらしいです。ここで注意したいのは、左辺の r は最終的にはτとρで表わさなくてはいけないことです。
こうすると、右辺は左辺に書き換えられるため、 r = 2m の特異点がなくなってしまうからです。ただし、これは変数変換しただけなので、物理的本質は変わってないんじゃないか?という疑問があろうと思います。これについては後ほど考えたいと思います。

ここで、r による微分をダッシュで表わすと、
 
から、
 
   
   
なので、条件として
 
 
となり、
 
から
 
となりました。
Dirac本のとおり、 とおきます。r > 2m なら y > a です。
 
 
なので、
 
となります。ここで、
 
   
   
であり、
 
 
から、
 
つまり、
 
となりました。この積分は直ぐにできて
 
ということです。変数をもどすと
 
なので、なので、 で g は発散することになります。さらに、
 
から 
 
なので、
 
となり、当然これも で発散することになります。
とりあえず、「発散問題」は棚上げしておいて、さらに考えると、rをτ,ρで表わさないといけませんね。これには、
 
から
 
です。元々は
 
なので、
 
となりました。

今日はこの辺で。。

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