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zoom RSS 球対称時空のスカラー曲率から Robertson-Walker 計量

<<   作成日時 : 2014/09/14 00:01   >>

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一般的な球対称時空の計量からスカラー曲率を過去に求めていますが、これと宇宙モデルを対応させて Robertson-Walker 計量を求めます。

まず、球対称時空の計量は

  

で、スカラー曲率は「球対称時空アインシュタインテンソル(11)」に示してありますが、A,Bをちゃんと書いて再掲すると、

 
   

一方、宇宙全体の計量を考えると

 宇宙原理 : 宇宙のあらゆる点は特殊な位置にない

があるため、任意の点のまわりで球対称にあり、

 

となるはずです。また、宇宙の一様等方性を要請すると、これは

 

となるでしょう。
とすると、

 

となるでしょう。よって

  

であり、

 
 

から、

 
   
   

よって、

 

となりました。
「一様等方」という仮定では最後の項が場所(x)の関数ではいけないので適当な係数Kを次のように定義します。

  

この微分方程式を解くことを考えます。ここで、 から

 

という1階微分方程式になるので、

 
   
   

であり、

 

となります。なので、 Robertson-Walker 計量は

 

となります。
ここでは r を使わずに x を使用しています。これは、

  共動座標(comoving coordinate)
  固有座標(proper coordinate)

という意味です。

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