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## Schwarzschild 計量での曲率テンソル（３）

<<   作成日時 ： 2014/07/22 00:01   >>

 やはり前記事が計算のやりっぱなしで散漫ですね。ここでもまとめておきましょう。 [ゼロでない曲率テンソル成分]======================================================= 　$R^{0}{_{101}}=\frac{a}{r^{2}\left(r-a\right)}\;,\;R^{0}{_{110}}=-\frac{a}{r^{2}\left(r-a\right)}\;,\;R^{0}{_{202}}=-\frac{a}{2r}\;,\;R^{0}{_{220}}=\frac{a}{2r}$ 　$R^{0}{_{303}}=-\frac{a\sin^{2}\theta}{2r}\;,\;R^{0}{_{330}}=\frac{a\sin^{2}\theta}{2r}$ 　$R^{1}{_{001}}=-\frac{a\left(a-r\right)}{r^{4}}\;,\;R^{1}{_{010}}=\frac{a\left(a-r\right)}{r^{4}}\;,\;R^{1}{_{212}}=-\frac{a}{2r}\;,\;R^{1}{_{221}}=\frac{a}{2r}$ 　$R^{1}{_{313}}=-\frac{a\sin^{2}\theta}{2r}\;,\;R^{1}{_{331}}=\frac{a\sin^{2}\theta}{2r}$ 　$R^{2}{_{002}}=-\frac{a\left(r-a\right)}{2r^{4}}\;,\;R^{2}{_{020}}=\frac{a\left(r-a\right)}{2r^{4}}$ 　$R^{2}{_{112}}=\frac{a}{2r^{2}\left(r-a\right)}\;,\;R^{2}{_{121}}=-\frac{a}{2r^{2}\left(r-a\right)}$ 　$R^{2}{_{323}}=\frac{a\sin^{2}\theta}{r}\;,\;R^{2}{_{332}}=-\frac{a\sin^{2}\theta}{r}$ 　$R^{3}{_{003}}=-\frac{a\left(r-a\right)}{2r^{4}}\;,\;R^{3}{_{030}}=\frac{a\left(r-a\right)}{2r^{4}}\;,\;R^{3}{_{223}}=-\frac{a}{r}\;,\;R^{3}{_{232}}=\frac{a}{r}$ 　$R^{3}{_{131}}=-\frac{a}{2r^{2}\left(r-a\right)}\;,\;R^{3}{_{113}}=\frac{a}{2r^{2}\left(r-a\right)}$ ====================================================================================== これらの結果からリッチ・テンソル $R_{\alpha\beta}\equiv&space;R^{\mu}{_{\alpha\mu\beta&space;}}$　を計算することができます。 　$R_{00}=R^{1}{_{010}}+R^{2}{_{020}}+R^{3}{_{030}}=\frac{a\left(a-r\right&space;)}{r^{4}}+\frac{a\left&space;(&space;r-a&space;\right&space;)}{2r^{4}}+\frac{a\left&space;(&space;r-a&space;\right&space;)}{2r^{4}}=0$ 　$R_{01}=0$ 　$R_{02}=0$ 　$R_{03}=0$ 　$R_{10}=0$ 　$R_{11}=R^{1}{_{111}}+R^{2}{_{121}}+R^{3}{_{131}}=&space;\frac{a}{r^{2}\left(r-a\right)}-\frac{a}{2r^{2}\left(r-a\right)}-\frac{a}{2r^{2}\left(r-a\right)}=0$ 　$R_{12}=0$ 　$R_{13}=0$ 　$R_{20}=0$ 　$R_{21}=0$ 　$R_{22}=R^{0}{_{202}}+R^{1}{_{212}}+R^{3}{_{232}}=-\frac{a}{2r}-\frac{a}{2r}+\frac{a}{r}=0$ 　$R_{23}=0$ 　$R_{30}=0$ 　$R_{31}=0$ 　$R_{32}=0$ 　$R_{33}=R^{0}{_{303}}+R^{1}{_{313}}+R^{2}{_{323}}=-\frac{a\sin^{2}\theta}{2r}-\frac{a\sin^{2}\theta}{2r}+\frac{a\sin^{2}\theta}{r}=0$ と　$R_{\mu\nu}=0$ となります。これは Schwarzschild 外部解なので、質量（＝エネルギー運動量テンソル）が無いため、アインシュタイン方程式は 　$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\:g_{\mu\nu}R=0\;\rightarrow&space;\;-\frac{1}{2}\:g_{\mu\nu}R=0\;\rightarrow&space;\;R=0$ となり、スカラー曲率もゼロになります。 空間は曲がっていても、リッチテンソルとスカラー曲率はゼロということに留意しないといけませんね。

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## コメント（2件）

リーマンテンソルを全成分計算する必要性は、数学でも物理でもほとんど無いと思われます。空間がフラットでないことを証明するために、0でない1つの成分を計算することはあるでしょうけど…。一方、接続係数、リッチテンソル、スカラー曲率を全成分知りたいということはよくあります。与えられた計量テンソルに対し、リッチテンソルの計算は大変ですが、Γ_i = Γ^j_{ji} を先に求めておくのがコツといえます。

http://www1.ocn.ne.jp/~amonphys/amongr.pdf　(P13〜)
あもん
2014/07/22 04:18
あもんさん、コメントありがとうございます。あもんさんのノートは後で拝読させていただきます。

T_NAKA
2014/07/22 10:48

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