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zoom RSS Schwarzschild 計量での曲率テンソル(2)

<<   作成日時 : 2014/07/21 00:01   >>

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曲率テンソルは 44 = 256 通りあるので、全部計算するのは大変です。しかし、Schwarzschild 計量での Christoffel 記号(2)Schwarzschild 計量での曲率テンソル(1)の表を見ると、ゼロでない個所があるので、そこを手掛かりに計算することにします。

・  の場合

 

以外はゼロなので、Γ001,1 が右辺にある R0011 を考えましたが、

 

からゼロになるでしょう。次にΓ010,1 が右辺にある R0110 を考えました。これは、

 
   
   

さらに、

 

になります。ここで分かったことは Γ111 と同じように、Γ100Γ122Γ133 が右辺にあるものがゼロにならない可能性があります。

 

これはゼロでした。
 
 

さらに、

 

また、

 

さらに、

 


・  の場合

 
 
 

以外はゼロです。まず、Γ100,1 が右辺にある R1010 を考えます。

 
   
 

   
次にΓ111,1 が右辺にある R1111 を考えることになりますが、これはゼロです。
さらにΓ122,1 が右辺にある R1212 を考えます。

 
   
 

次にΓ133,1 が右辺にある R1313 を考えます。

 
     
    
 

次にΓ133,2 が右辺にある R1323 を考えます。

 
    
 

さて、Γ100、Γ111、Γ122、Γ133 を含むものは R1abb ですべてゼロになってしまいます。


・  の場合

 
 

まず、Γ212,1 が右辺にある R2112 を考えます。

 
   
 

次に、Γ221,1 が右辺にある R2211 を考えますが、これはゼロですね。
次は、Γ233,2 が右辺にある R2323 を考えます。

 
   
 

これ以外に、Γ212、Γ221、Γ233 が右辺にあるものを考えることができますが、ゼロにならないのは R2002 R2020 だけで、

 
 

となります。

・  の場合

 
 

まず Γ313,1 が右辺にある R2323 を考えます。

  
 

Γ331,1、Γ332,2 が右辺にある R3311、R3322ゼロになります。そこで、Γ323,2 が右辺にある R3223 を考えます。

 
 

これ以外に、Γ313、Γ323、Γ331、Γ332 が右辺にあるものを考えることができますが、ゼロにならないのは R3003 R3030 だけで、

 
 

となります。

一応ゼロでないものを全て求めました。今日は疲れてしまったので、この辺で。。

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