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zoom RSS Schwarzschild 計量での Christoffel 記号(1)

<<   作成日時 : 2014/07/15 00:01   >>

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Schwarzschild 時空の曲率テンソル _ 備忘録という記事で Christoffel 記号の値は分かっているとしていますが、これは明確に計算した結果を示しておいた方が良いでしょう(実はEMANさんのツィートに刺激されました)。そこで少しずつ計算するとして、Schwarzschild 計量をどう表わすかに悩みました。東海岸方式を使うと、

 

ですが、計算を簡単にするために、 の自然単位を使い、

 

とすると、

 

となりました。この形で進めることにします。つまり、

 

であり、

 

でしょう。
さて、 Christoffel 記号は

 

であり、ここから

 

という性質も出てきます。
では i を 0,1,2,3 のケースに分けて考えていくことにしましょう。

  の場合

 

の形にならないものは全てゼロになってしまいますし、明らかに時間の関数である計量要素は存在しないので、

 

であり、同様に時間の関数である計量要素は存在しないので、 で、ゼロでない可能性のあるのは、

 
   

のみです。

  の場合

 

なので、 という条件を付加すると、

 

となり、

 
 
 
 

次に とすると、 

 

なので、

 
    
 
    
 
    
 
    

  の場合
 
 

なので、 という条件を付加すると、

  
 
  

で、  以外ではゼロなので、

 

  

においても で同じものになります。

 

を考えると、 という条件ではなく、 であって、

 

他の の場合を考えると、

  

なので、

 
 
 

  の場合

 

なので、 という条件を付加すると、

 

つまり、

 

また、

 

から、

 


さらに

 

から

 

また、 の場合を考えると、

 

なので、

 
 
 
 

今日はこの辺で。。

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コメント(2件)

内 容 ニックネーム/日時
細かい話ですが、クリストッフェル記号の1番目の添字と2番目の添字は一般に対称ではないので、これら添字が上下に並ぶのは好ましくありません。TeX では \Gamma^i{}_{jk} のように書くと良いでしょう。また、Tex では分数と前後の文字がくっつきがちです。\, を挿入することで少し隙間ができます。
あもん
2014/07/16 19:10
あもんさん、コメントありがとうございます。教科書では確かに添え字をずらしてますね。今後が少し気を付けることにします。ただ1行に収まらない式だと見栄えが悪いので、そこら辺は臨機応変にやっていきたいと思っております。
T_NAKA
2014/07/17 10:36

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