# T_NAKAの阿房ブログ

## 一般 Lorentz 変換の積（２）

<<   作成日時 ： 2014/04/21 00:01   >>

 さて、２つの Lorentz 変換の積が１つの Lorentz 変換にならないことを見てきました。これを１つの Lorentz 変換と何らかの変換の積に分解できないか？と考えます。 ここで、天下りですが、 　$\boldsymbol{\beta}_{3}=\begin{bmatrix}&space;\beta_{1}\\&space;\frac{\beta_{2}}{\gamma_{1}}\\&space;0&space;\end{bmatrix}\;&space;,\;&space;\;&space;\beta_{3}\equiv&space;\left|\boldsymbol{\beta}_{3}\right|=\sqrt{\beta_{1}^{2}+\frac{\beta_{2}^{2}}{\gamma_{1}^{2}}}\;&space;,\;&space;\;\gamma_{3}\equiv\frac{1}{\sqrt{1-\beta_{3}^{2}}}$ とし、ローレンツ変換 　$L\left(\boldsymbol{\beta}_{3}\right)=\begin{bmatrix}&space;\gamma_{3}&space;&-\beta_{1}\gamma_{3}&space;&-\frac{\beta_{2}}{\gamma_{1}}\gamma_{3}&space;&0&space;\\&space;-\beta_{1}\gamma_{3}&space;&1+\left(\gamma_{3}-1\right)\frac{\beta_{1}^{2}}{\beta_{3}^{2}}&space;&\left(\gamma_{3}-1\right)\frac{\beta_{1}\beta_{2}}{\gamma_{1}\beta_{3}^{2}}&space;&0&space;\\&space;-\frac{\beta_{2}}{\gamma_{1}}\gamma_{3}&space;&\left(\gamma_{3}-1\right)\frac{\beta_{1}\beta_{2}}{\gamma_{1}\beta_{3}^{2}}&space;&1+\left(\gamma_{3}-1\right)\frac{\beta_{2}^{2}}{\gamma_{1}^{2}&space;\beta_{3}^{2}}&space;&0&space;\\&space;0&space;&0&space;&0&space;&1&space;\end{bmatrix}$ を考えます。ここで、 　$\beta_{3}^{2}=\beta_{1}^{2}+\frac{\beta_{2}^{2}}{\gamma_{1}^{2}}=\beta_{1}^{2}+\left(1-\beta_{1}^{2}\right)\beta_{2}^{2}$ から、 　$1-\beta_{3}^{2}=1-\beta_{1}^{2}-\left(1-\beta_{1}^{2}\right)\beta_{2}^{2}=\left(1-\beta_{1}^{2}\right)-\left(1-\beta_{1}^{2}\right)\beta_{2}^{2}=\left(1-\beta_{1}^{2}\right)&space;\left(1-\beta_{2}^{2}\right)$ なので、 　$\gamma_{3}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta_{3}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{\left(1-\beta_{1}^{2}\right)&space;\left(1-\beta_{2}^{2}\right)}}&space;=\frac{1}{\sqrt{1-\beta_{1}^{2}}}\cdot&space;\frac{1}{\sqrt{1-\beta_{2}^{2}}}=\gamma_{1}\gamma_{2}$ 　$\frac{1}{\beta_{3}^{2}}=\frac{\gamma_{3}^{2}}{\gamma_{3}^{2}-1}=\frac{\gamma_{3}^{2}}{\left(\gamma_{3}-1&space;\right&space;)\left&space;(\gamma_{3}+1\right)}=&space;\frac{1}{\gamma_{3}-1}\cdot\frac{\gamma_{1}^{2}\gamma_{2}^{2}}{\gamma_{1}\gamma_{2}+1}$ です。これを反映させると、 　$L\left(\boldsymbol{\beta}_{3}\right)&space;=\begin{bmatrix}&space;\gamma_{1}\gamma_{2}&space;&-\beta_{1}\gamma_{1}\gamma_{2}&space;&-\beta_{2}\gamma_{2}&space;&0&space;\\&space;-\beta_{1}\gamma_{1}\gamma_{2}&space;&1+\frac{\beta_{1}^{2}\gamma_{1}^{2}\gamma_{2}^{2}}{\gamma_{1}\gamma_{2}+1&space;}&space;&\frac{\beta_{1}\beta_{2}\gamma_{1}\gamma_{2}^{2}}{\gamma_{1}\gamma_{2}+1}&space;&0&space;\\&space;-\beta_{2}\gamma_{2}&space;&\frac{\beta_{1}\beta_{2}\gamma_{1}\gamma_{2}^{2}}{\gamma_{1}\gamma_{2}+1}&space;&1+\frac{\beta_{2}^{2}\gamma_{2}^{2}&space;}{\gamma_{1}\gamma_{2}+1&space;}&space;&0&space;\\&space;0&space;&0&space;&0&space;&1&space;\end{bmatrix}$ となりました。 もう一つ天下りですが、 　$R=&space;\begin{bmatrix}&space;1&space;&0&space;&0&space;&0&space;\\&space;0&space;&\frac{\gamma_{1}+\gamma_{2}}{\gamma_{1}\gamma_{2}+1}&space;&&space;-\frac{\beta_{1}\beta_{2}&space;\gamma_{1}\gamma_{2}}{\gamma_{1}\gamma_{2}+1}&space;&&space;0\\&space;0&space;&\frac{\beta_{1}\beta_{2}&space;\gamma_{1}\gamma_{2}}{\gamma_{1}\gamma_{2}+1}&space;&\frac{\gamma_{1}+\gamma_{2}}{\gamma_{1}\gamma_{2}+1}&space;&&space;0\\&space;0&space;&0&space;&0&space;&1&space;\end{bmatrix}$ という変換を考えます。 ここで、 　$R\cdot&space;L\left(\boldsymbol{\beta&space;}_{3}\right)=&space;\begin{bmatrix}&space;1&space;&0&space;&0&space;&0&space;\\&space;0&space;&\frac{\gamma_{1}+\gamma_{2}}{\gamma_{1}\gamma_{2}+1}&space;&&space;-\frac{\beta_{1}\beta_{2}&space;\gamma_{1}\gamma_{2}}{\gamma_{1}\gamma_{2}+1}&space;&&space;0\\&space;0&space;&\frac{\beta_{1}\beta_{2}&space;\gamma_{1}\gamma_{2}}{\gamma_{1}\gamma_{2}+1}&space;&\frac{\gamma_{1}+\gamma_{2}}{\gamma_{1}\gamma_{2}+1}&space;&&space;0\\&space;0&space;&0&space;&0&space;&1&space;\end{bmatrix}&space;\begin{bmatrix}&space;\gamma_{1}\gamma_{2}&space;&-\beta_{1}\gamma_{1}\gamma_{2}&space;&-\beta_{2}\gamma_{2}&space;&0&space;\\&space;-\beta_{1}\gamma_{1}\gamma_{2}&space;&1+\frac{\beta_{1}^{2}\gamma_{1}^{2}\gamma_{2}^{2}}{\gamma_{1}\gamma_{2}+1&space;}&space;&\frac{\beta_{1}\beta_{2}\gamma_{1}\gamma_{2}^{2}}{\gamma_{1}\gamma_{2}+1}&space;&0&space;\\&space;-\beta_{2}\gamma_{2}&space;&\frac{\beta_{1}\beta_{2}\gamma_{1}\gamma_{2}^{2}}{\gamma_{1}\gamma_{2}+1}&space;&1+\frac{\beta_{2}^{2}\gamma_{2}^{2}&space;}{\gamma_{1}\gamma_{2}+1&space;}&space;&0&space;\\&space;0&space;&0&space;&0&space;&1&space;\end{bmatrix}$ を計算します。 この結果を仮に 　 　$R\cdot&space;L\left(\boldsymbol{\beta&space;}_{3}\right)=&space;\begin{bmatrix}&space;l_{00}&space;&l_{01}&space;&l_{02}&space;&l_{03}&space;\\&space;l_{10}&space;&l_{11}&space;&l_{12}&space;&l_{13}&space;\\&space;l_{20}&space;&l_{21}&space;&l_{22}&space;&l_{23}&space;\\&space;l_{30}&space;&l_{31}&space;&l_{32}&space;&l_{33}&space;\end{bmatrix}$ と表現すると、 　$R\cdot&space;L\left(\boldsymbol{\beta&space;}_{3}\right)=&space;\begin{bmatrix}&space;\gamma_{1}\gamma_{2}&space;&-\beta_{1}\gamma_{1}\gamma_{2}&space;&-\beta_{2}\gamma_{2}&space;&0&space;\\&space;l_{10}&space;&l_{11}&space;&l_{12}&space;&0&space;\\&space;l_{20}&space;&l_{21}&space;&l_{22}&space;&0\\&space;0&space;&0&space;&0&space;&1&space;\end{bmatrix}$ というのは簡単に解りますね。その他の要素は一つずつ計算していきますが、文字制限のためここでは記述できなくなりました。 よって、今日はこの辺で。。

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