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zoom RSS ふくらんでゆく宇宙(3)

<<   作成日時 : 2013/12/17 00:01   >>

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もう少し話を先に進めてみたいと思います。

まず、前記事の結論を書いておくと、
  
ですが、現在の宇宙は高温ではなく、物質密度をρとして、
  
という状態にあります。ということは前記事の結論の第2式より、
  
になります。
分かり難いので、取り敢えず、 とすると、
  
なので、この微分方程式は とも書けることになり、
  
と表現できます。これはすぐに解けて
  
ですが、ηの原点を調整して、 とすることができ、
  
と表されます。すなわち「スケール因子 に比例する」ということです。  
したがって、
  
が成り立ち、 に比例し、 に比例することになります。
なお、 を前記事の結果の第1式にいれると
  
から、
  
で、「宇宙の膨張する一つの領域に含まれる物質の総量は一定に保たれる」という当然の結果を表しています。

第1式 はまた、
  
と変形できるので、 (*) から
  
なので、上式は
  
となり、
  
とハッブル定数から、現在の宇宙の平均密度を計算することが出来ます。

30 年前のハッブル定数と現在のそれを比較するで書いたように、ハッブル定数は、Wikipedia によると、「2013年現在最も正確な値は、プランクの観測による (67.80 ± 0.77) km/s/Mpc である」とのことなので、ここから宇宙の平均密度を計算してみましょう。但し、単位が g/cm3 になるように調整したいと思います。
  
から、
  
一応ノミナル値を採って とし なので、
  
となります。実際のところは
  
ということで、この差がダークマターとかになるんでしょうか?
ただ、今回の話は曲率ゼロと決めてしまっているし、宇宙項も考えていないので、そんなにシビアなものでないことを留意願います。    
この問題については、あもんさんのご指摘がありました。コメント欄をご覧下さい。

今日はこの辺で。。

----------------------------------------------------------------------
(*) とは矛盾しているような感じがしますが、
  
  
と辻褄が合います。

  

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コメント(2件)

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3.0×10^(-30)g/cm^3 はダークマターを含んだ物質(非相対論的粒子)のエネルギー密度で、銀河の公転運動などから予想されているものです。フラットで宇宙項なしのモデル(アインシュタイン・ド・ジッター宇宙)ではこの観測結果を説明できません。つまり、「差」はダークマターでなく、ダークエネルギー(宇宙項)と考えていいでしょう。
あもん
2014/01/14 01:03
なるほど、ダークマター込の測定物質密度なら「差がダークマター」というのはトンチンカンな話でしたね。ご指摘ありがとうございました。
T_NAKA
2014/01/14 20:43

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