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zoom RSS 光の進む道すじ(1)

<<   作成日時 : 2013/12/09 00:01   >>

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星からの光が太陽のごく近くを通過して地球に到達するとき、直線から少し曲がります。
アーサー・エディントンが皆既日食を利用してこれを測定したことは「いざ、プリンシベ島へ」にあるように有名ですね。

具体的には下図において
画像

 

となるとのこと。
太陽の表面近くを光が通過する場合は、「r0 = 太陽半径」として計算すれば良く、太陽のシュッバルツシルド半径は既に求めているので、
 
から、
 
となる。


1919 年 5 月 29 日の皆既日食での実際測定結果は

 観測地点         観測した星の数        
---------------------------------------------------------
 ソブラル島(ブラジル)                  
 プリンシベ島(ギニア)                

なので、理論値はちょうどこの真ん中あたりということになりますね。

さて、この式の導出を考える。
前記事で惑星の運動で、
 
という条件があり、光線の場合も同じなのだが、光の軌跡では である。
この式で、 なら なので、この式
  
に対応させると、
  
であり、これが光跡を表す方程式である。
第1近似として、右辺をゼロと置くと
  
でこの解は
  
で、測地線(2)で示したように、直線の方程式となる。

これを微分方程式の右辺に代入したもの
  
が第2近似ということになる。
これを「微分方程式をラプラス変換で解いてみる」を参考に解くと、
  
ということになる。
-----------------------------
本来は なのだが、 としないと、こういう解にはならない。 と言っても良いので近似的には成立するのだろう。。
-----------------------------

さて、全体に r0r を掛けると、
  
なので、
  
であり、遠方 では、 から
  
なので、
  
つまり、右辺第2項が光跡のズレになるので、角度は倍になるので、

  

ということになる。

どうも、この導出は分かり難いです。
別の解法を後記事で考えたいと思います。今日はこの辺で。。

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