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zoom RSS 古典力学からの準備(1)

<<   作成日時 : 2013/11/06 00:01   >>

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ここでは解析力学をざっとおさらいします。古典力学→相対論的力学への準備ということになるのでしょうか?

作用(action)とは角運動量、すなわち運動量×長さ、またはエネルギー×時間、の次元を持つ物理量である」
ということなので、次元を調べてみましょう。

[角運動量]=[kg・m/s]×[m]=[M][L][T]-1[L]=[M][L]2[T]-1
[運動量]×[長さ]=[kg・m/s]×[m]=[M][L][T]-1[L]=[M][L]2[T]-1
[エネルギー]×[時間]=[kg・(m/s)2]×[s]=[M][L]2[T]-2[T]=[M][L]2[T]-1

ということで、辻褄が合いますね。
さて、1個の質点が
  時間 のとき位置 にあり、
  時間 のとき位置 に来る
とします。
このとき質点の実際の運動はこの始状態と終状態とを結ぶ道筋のうち作用が最小になるという最小作用の原理(principle of least action)があります。ここで作用
    
で定義されます。Lagrange(ラグランジュ)関数と呼ばれ、エネルギーの次元を持つものです。
最小作用の原理から、
     
作用 を最小にする経路を とおいて、経路を で置き換えても の1乗のオーダーでは は変わらないでしょう。ただし
     
において、
     
から、
    
となります。これが任意の で成立するためには
    
でなければなりません。これをLagrange の運動方程式といいます。

今日はこの辺で。。

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