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Schwarzschild の解（２）

<<   作成日時 ： 2013/11/29 00:01   >>

 さて、前記事の結果よりリッチ・テンソルを計算することにします。 この場合、直交座標なので、行列 $R_{ik}$ の対角成分以外はゼロなので、$R_{00},R_{11},R_{22},R_{33}$ のみ求めれば良いことになります。 　　$R_{00}=\frac{\partial&space;\Gamma{^{l}}_{00}}{\partial&space;x^{l}}-\frac{\partial&space;\Gamma{^{l}}_{0l}}{\partial&space;x^{0}}+\Gamma{^{l}}_{00}\Gamma{^{m}}_{lm}-\Gamma{^{m}}_{0l}\Gamma{^{l}}_{0m}$ 　　$=\frac{\partial&space;\Gamma{^{1}}_{00}}{\partial&space;x^{1}}+\Gamma{^{1}}_{00}\left&space;(\Gamma{^{0}}_{10}+&space;\Gamma{^{1}}_{11}+\Gamma{^{2}}_{12}+\Gamma{^{3}}_{13}\right)-(\left\Gamma{^{1}}_{00}\Gamma{^{0}}_{01}+\left\Gamma{^{0}}_{01}\Gamma{^{1}}_{00}\right&space;)$ 　　$=\frac{\partial&space;\Gamma{^{1}}_{00}}{\partial&space;x^{1}}+\Gamma{^{1}}_{00}\left&space;(&space;\Gamma{^{1}}_{11}+\Gamma{^{2}}_{12}+\Gamma{^{3}}_{13}\right)-\Gamma{^{0}}_{01}\Gamma{^{1}}_{00}$ 　　$=\frac{\partial&space;\Gamma{^{1}}_{00}}{\partial&space;x^{1}}+\left&space;(&space;\Gamma{^{1}}_{11}+\Gamma{^{2}}_{12}+\Gamma{^{3}}_{13}-\Gamma{^{0}}_{01}\right)\Gamma{^{1}}_{00}$ 　　$=\frac{\partial&space;}{\partial&space;r}\left&space;(\frac{{\nu&space;}'}{2}\:&space;\mathrm{e}^{\nu-\lambda&space;}&space;\right&space;)+\left&space;(\frac{{\lambda&space;}'}{2}+\frac{1}{r}+\frac{1}{r}-\frac{{\nu&space;}'}{2}\right)\left&space;(\frac{{\nu&space;}'}{2}\:&space;\mathrm{e}^{\nu-\lambda&space;}\right)$ 　　$=\frac{{\nu&space;}''}{2}\:&space;\mathrm{e}^{\nu-\lambda}+\frac{{\nu}'}{2}\left({\nu&space;}'-{\lambda&space;}'\right&space;)\:&space;\mathrm{e}^{\nu-\lambda}+\left\{-\frac{{\nu&space;}'}{4}\left({\nu&space;}'-{\lambda&space;}'\right)+\frac{{\nu&space;}'}{r}\right\}\:&space;\mathrm{e}^{\nu-\lambda}$ 　　$=\left\{\frac{{\nu&space;}''}{2}+\frac{{\nu&space;}'}{4}\left({\nu&space;}'-{\lambda&space;}'\right)+\frac{{\nu&space;}'}{r}\right\}\:&space;\mathrm{e}^{\nu-\lambda}$ 　　$R_{11}=\frac{\partial&space;\Gamma{^{1}}_{11}}{\partial&space;x^{1}}-\frac{\partial\left&space;(\Gamma{^{0}}_{10}+\Gamma{^{1}}_{11}+\Gamma{^{2}}_{12}+\Gamma{^{3}}_{13}\right)}{\partial&space;x^{1}}+\Gamma{^{1}}_{11}\Gamma{^{m}}_{1m}-\Gamma{^{m}}_{1l}\Gamma{^{l}}_{1m}$ 　　$=-\frac{\partial\left&space;(\Gamma{^{0}}_{10}+\Gamma{^{2}}_{12}+\Gamma{^{3}}_{13}\right)}{\partial&space;x^{1}}+\Gamma{^{1}}_{11}\left&space;(\Gamma{^{0}}_{10}+\Gamma{^{1}}_{11}+\Gamma{^{2}}_{12}+\Gamma{^{3}}_{13}&space;\right&space;)$ 　　$-\Gamma{^{0}}_{10}\Gamma{^{0}}_{10}-\Gamma{^{1}}_{11}\Gamma{^{1}}_{11}-\Gamma{^{2}}_{12}\Gamma{^{2}}_{12}&space;-\Gamma{^{3}}_{13}\Gamma{^{3}}_{13}$ 　　$=-\frac{\partial\left&space;(\Gamma{^{0}}_{10}+\Gamma{^{2}}_{12}+\Gamma{^{3}}_{13}\right)}{\partial&space;x^{1}}+\Gamma{^{1}}_{11}\left&space;(\Gamma{^{0}}_{10}+\Gamma{^{2}}_{12}+\Gamma{^{3}}_{13}&space;\right&space;)$ 　　$-\Gamma{^{0}}_{10}\Gamma{^{0}}_{10}-\Gamma{^{2}}_{12}\Gamma{^{2}}_{12}&space;-\Gamma{^{3}}_{13}\Gamma{^{3}}_{13}$ 　　$=-\frac{\partial&space;}{\partial&space;r}\left(\frac{{\nu}'}{2}+\frac{2}{r}\right)+\frac{{\lambda}'}{2}\left(\frac{{\nu}'}{2}+\frac{2}{r}\right)-\left(\frac{{\nu&space;}'}{2}\right)^{2}-\frac{2}{r^{2}}$ 　　$=-\frac{{\nu&space;}''}{2}+\frac{2}{r^{2}}+\frac{{\lambda&space;}'{\nu&space;}'}{4}+\frac{{\lambda&space;}'}{r}-\frac{\left&space;({\nu&space;}'\right)^{2}}{4}-\frac{2}{r^{2}}=-\frac{{\nu&space;}''}{2}+\frac{{\lambda&space;}'{\nu&space;}'}{4}+\frac{{\lambda&space;}'}{r}-\frac{\left&space;({\nu&space;}'\right)^{2}}{4}$ 　　$=-\left&space;\{\frac{{\nu&space;}''}{2}+\frac{{\nu&space;}'}{4}\left&space;(&space;{\nu&space;}'-{\lambda&space;}'&space;\right&space;)-\frac{{\lambda&space;}'}{r}\right&space;\}$ 　　$R_{22}=\frac{\partial&space;\Gamma{^{1}}_{22}}{\partial&space;x^{1}}-\frac{\partial&space;\Gamma{^{3}}_{23}}{\partial&space;x^{2}}+\Gamma{^{1}}_{22}\left(\Gamma{^{0}}_{10}+\Gamma{^{1}}_{11}-\Gamma{^{2}}_{21}+\Gamma{^{3}}_{13}\right)-\Gamma{^{3}}_{23}\Gamma{^{3}}_{23}$ 　　$=&space;\frac{\partial&space;\left&space;(-r\mathrm{e}^{-\lambda}\right&space;)}{\partial&space;r}-\frac{\partial&space;\cot&space;\theta&space;}{\partial&space;\theta}-r\mathrm{e}^{-\lambda}\frac{{\nu&space;}'+{\lambda&space;}'}{2}-\cot^{2}\theta$ 　　$=-\mathrm{e}^{-\lambda}+{\lambda}'\mathrm{e}^{-\lambda}r-r\mathrm{e}^{-\lambda}\frac{{\nu&space;}'+{\lambda&space;}'}{2}+1=-\mathrm{e}^{-\lambda}\left\{\frac{r}{2}\left({\nu}'-{\lambda&space;}'\right&space;)+1&space;\right&space;\}+1$ 　　$R_{33}=\frac{\partial&space;\Gamma{^{1}}_{33}}{\partial&space;x^{1}}+\frac{\partial&space;\Gamma{^{2}}_{33}}{\partial&space;x^{2}}+\Gamma{^{1}}_{33}\left(\Gamma{^{0}}_{10}+\Gamma{^{1}}_{11}+\Gamma{^{2}}_{12}-\Gamma{^{3}}_{13}&space;\right)-\Gamma{^{3}}_{32}\Gamma{^{2}}_{33}$ 　　$=\frac{\partial\left(-r\sin^{2}\theta\:\mathrm{e}^{-\lambda}\right)}{\partial&space;r}+\frac{d&space;\left(-\sin\theta\cos\theta\right)}{d&space;\theta&space;}+\left(-r\sin^{2}\theta\:\mathrm{e}^{-\lambda}\right)\left&space;(\frac{{\nu&space;}'}{2}+\frac{{\lambda}'}{2}+\frac{1}{r}-\frac{1}{r}\right&space;)$ 　　$-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\left(-\sin\theta\cos\theta\right)$ 　　$=\mathrm{e}^{-\lambda}\left(r{\lambda}'-1\right)\sin^{2}\theta+\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta-r\sin&space;^{2}\theta\:\mathrm{e}^{-\lambda}\left(\frac{{\nu&space;}'}{2}+\frac{{\lambda}'}{2}\right)+\cos^{2}\theta$ 　　$=\sin^{2}\theta\left\{\mathrm{e}^{-\lambda}\left(r{\lambda}'-1\right)+1-r\:\mathrm{e}^{-\lambda}\left(\frac{{\nu&space;}'}{2}+\frac{{\lambda}'}{2}\right)\right&space;\}$ 　　$=\sin^{2}\theta\left\{\mathrm{e}^{-\lambda}\left(r{\lambda}'-\frac{r{\nu&space;}'}{2}-\frac{r{\lambda}'}{2}-1\right)+1\right&space;\}$ 　　$=\sin^{2}\theta\left[-\mathrm{e}^{-\lambda}\left&space;\{\frac{r}{2}\left({\nu&space;}'-{\lambda&space;}'\right&space;)+1&space;\right&space;\}+1&space;\right&space;]$ まとめると、 　　$R_{00}=\left\{\frac{{\nu&space;}''}{2}+\frac{{\nu}'}{4}\left({\nu&space;}'-{\lambda&space;}'\right)+\frac{{\nu&space;}'}{r}\right\}\:&space;\mathrm{e}^{\nu-\lambda}$ 　　$R_{11}=-\left&space;\{\frac{{\nu&space;}''}{2}+\frac{{\nu&space;}'}{4}\left&space;(&space;{\nu&space;}'-{\lambda&space;}'&space;\right&space;)-\frac{{\lambda&space;}'}{r}\right&space;\}$ 　　$R_{22}=-\mathrm{e}^{-\lambda}\left&space;\{\frac{r}{2}\left({\nu&space;}'-{\lambda&space;}'\right&space;)+1&space;\right&space;\}+1$ 　　$R_{33}=\sin^{2}\theta\left[-\mathrm{e}^{-\lambda}\left&space;\{\frac{r}{2}\left({\nu&space;}'-{\lambda&space;}'\right&space;)+1&space;\right&space;\}+1&space;\right&space;]$ ですが、この間に共通な項があるので、 　　$R_{00}=\left&space;(&space;\frac{{\nu&space;}'+{\lambda&space;}'}{r}-R_{11}&space;\right&space;)\mathrm{e}^{\nu-\lambda},\;&space;\;&space;\;&space;R_{33}=\sin^{2}\theta\:R_{22}$ と書けます。 条件　$R_{00}=R_{11}=R_{22}=R_{33}=0$　から、 　　$\left&space;(&space;\frac{{\nu&space;}'+{\lambda&space;}'}{r}\right&space;)\mathrm{e}^{\nu-\lambda}=0&space;\;&space;\rightarrow&space;\;&space;{\nu&space;}'+{\lambda&space;}'=0&space;\;&space;\rightarrow&space;\;{\nu&space;}'=-{\lambda&space;}'$ となり、これを $R_{22}$ に代入すると、 　　 　　$R_{22}=-\mathrm{e}^{-\lambda}\left(1-r{\lambda&space;}'\right)+1=0$ という関係が得られます。 ところで、${\lambda&space;}'+{\nu}'=0\;&space;\rightarrow&space;\;&space;\lambda+\nu=\mathrm{const}.$ ですが、遠方 $\left(r\rightarrow\infty\right)$ で $\lambda\rightarrow&space;0,\nu&space;\rightarrow&space;0$ であるべきなので、この定数(const)は 0 に等しいとするべきでしょう。つまり、 　　$\lambda+\nu=0&space;\;&space;\rightarrow&space;\;&space;\mathrm{e}^{-\lambda}=\mathrm{e}^{\nu}$ さらに、 　　$\frac{d}{dr}\left\{r\left(1-\mathrm{e}^{-\lambda}\right)\right\}=\left(1-\mathrm{e}^{-\lambda}\right)+r\mathrm{e}^{-\lambda&space;}\:&space;{\lambda}'=-\mathrm{e}^{-\lambda}\left&space;(1-r{\lambda}'&space;\right)&space;+1$ から、$R_{22}$ を考えると 　　$\frac{d}{dr}\left\{r\left(1-\mathrm{e}^{-\lambda}\right)\right\}=0$ という微分方程式を意味しており、積分定数を $r_{g}$ とすると、 　　$\mathrm{e}^{-\lambda}=\mathrm{e}^{\nu}=1-\frac{r_{g}}{r}$ と解けます。つまり、Schwarzschild(シュワルツシルド)の解と呼ばれる 　　$ds^{2}=\left(1-\frac{r_{g}}{r}\right)c^{2}dt^{2}-\left(1-\frac{r_{g}}{r}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}\left(d\theta^{2}+\sin^{2}\theta&space;d\varphi^{2}\right)$ が得られます。 今日はこの辺で。。

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