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zoom RSS 重力場の方程式(1)

<<   作成日時 : 2013/11/25 00:01   >>

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「時間空間の世界」での検討結果から、「重力の存在 → 時空に曲率」「重力の非存在 → 時空は平坦」ということが分かりました。重力場の源は物質(あるいは一般にエネルギー)→ 「時空の曲率テンソルと物質分布」とは関係があるということになります。
これについて勉強していきます。いわゆるアインシュタイン方程式のことですね。


・空間の曲率からビアンキの恒等式

 

・物質分布はエネルギー運動量テンソル

 

 において、保存則

  

 が成立する。

ここで、重力場の方程式は発散がゼロになるものを結びつけて考える。

 

これを Einstein の方程式と言い、κは比例定数である。

この式を縮約すると、
  
であり、左辺は
  
右辺は
  
なので、
  
これをEinstein の方程式に代入すると、  
  
つまり、エネルギー運動量テンソルがゼロであるような時空の領域では、2階曲率テンソルはゼロ。逆も成立。
  
  太陽の外部(つまり物質の無いところの空間)では はゼロであるが、4階曲率テンソルはゼロではない。
(ここが間違いやすいところで、物質の無い所でも物質の近傍なら勿論空間は曲がっていますが、 が成立します。ただ「4階曲率テンソルはゼロではない」ので空間は曲がっていることになります。本当に時空が平坦ならばこれもゼロです。つまり のみでは時空が平坦とは言えないことに注意しなければなりません。)

今日はこの辺で。。

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