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zoom RSS 流体のエネルギー運動量テンソル

<<   作成日時 : 2013/11/21 00:01   >>

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アインシュタイン方程式の右辺にあたるエネルギー運動量テンソルを考えておこうということです。
どうも、ここのところが苦手な感じがしています。

・天体を構成するようなスケールの大きい流体を考える。
   固有エネルギー密度:
   圧力:
・「固有」とは「流体に対して静止している系」においてという意味。
・粘性は無視する。

このような流体が運動しているとき、各部の4元速度 を用いて、一つの反変テンソルの場
    
を定義する。
 (注)個人的には、何故こんな形の反変テンソルを天下りに定義しなければいけないのか?というのが分かり難いところです。
混合成分で書くと
    
となる。これを縮約してスカラー
    
が成立する。「気体の圧力」で調べたように圧力 とエネルギー密度  との間には
    
がある。したがって 。等号が成立するのは、光子ガスの場合、および気体の温度の高い極限状態においてである。
  (注)どうもこんな形の反変テンソルは という形を出してくるためか?

「一般に、流体のエネルギー保存則や運動方程式は、適当に選ばられたエネルギー運動量テンソルの4次元発散が零になるという表式で与えられる」
上に定義したテンソル がこの役割を果たすことを予想して
    
すなわち
    
とおく。重力は共変微分をとるということでクリストッフェル記号として考慮されている。

まず、
 ・流体が光の速さ に比べて十分小さい速度 で運動 
 ・弱い重力場の中を運動
する場合を考える。
 ・エネルギー密度  の代わりに物質密度
 ・通常の物質で成り立つ の性質
を用いる。
よって、
    
だが、
のとき、
   
それ以外のときは、 を差し引くように働かないので、
   
という近似式を使うと、
   
となる。
ここで、
    
すなわち
    
の時間成分は
    
ここで、
     
のみがゼロでないので、    
     
     
     
となり、
    
なので
    
すなわち連続の式という物質の保存則が得られる。

x 成分からは
     
で、
     
のみがゼロでないので、
     
     
     
よって、近似的には
     
であり、
     
となる。
y、z 成分を類推すると、
    
    
なので、まとめると
    
となる。
ここで、連続の式を思い出すと、
    
であり、
    
なので、先の式は
   
で全体をρで割ると、
   
と、Euler の運動方程式に一致する(この変形には少し疑問があるが、、)。

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