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zoom RSS 時空の計量テンソル

<<   作成日時 : 2013/11/15 00:01   >>

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重力と慣性力の等価原理から「時空の計量テンソル」→「一般相対論」という思考の道筋をたどりましょう。

物体に働く重力を物体に働く慣性力で打ち消すことが出来る。
具体例を上げると「地球の外側を“自由に”回がる宇宙船の中でこれらの2種の力が相殺して無重力状態が実現」されるetc.

慣性力:慣性系に対して加速度運動する座標系に現れる
 慣性系から非慣性系への座標変換によって、不変量 の表式は
    
と変換される

: 時間座標 と空間座標 の関数。時空の計量テンソルと呼ばれる。

慣性系に対して加速度運動をする系で現れる慣性力は、単位質量に働く力として、時空の計量テンソル に帰着する。→ という幾何学的性質に帰着する。

重力の場も同様で、 という幾何学的性質に帰着する。

この考え方で Einstein によって打ち立てられたものが一般相対論(general theory of relativity) 。

ここで疑問となるのが、慣性力における と物質のまわりに出来る重力の とは同じものなのか?ということ。

慣性力の : 座標変換によって生じたものなので、 逆変換で とできる
重力の : 座標変換で(大域的に)慣性系にすることはできない(局所的には可能)。

平坦な Riemann 多様体と曲率を持つ Riemann 多様体との相違に似ている。→ “重力が存在する時空には曲率があり、重力の存在しない時空は平坦である”


時空の計量テンソル の作る行列式 の符号は常に負である。

例:慣性系の中で一様に回転している座標系。
  慣性系において、円柱座標 を選べば、
    
  この系を 軸まわりに一定の角速度 で回転する系に変えるには という置き換えをすれば良い。
  具体的には なので、
  
  
  
  
  
  
よって、

なので、
 
 
であるから、 の軸上を除いて、確かに となっている。
一方、時間成分 については、これが正であるとは必ずしも言えないことがこの例からもわかる。

のすべての成分が時間座標 を含まないとき、時間について一定の場という。
この座標系でさらに、時間空間にまたがる成分 がすべて であるとき、言い換えれば で置き換える操作で が変わらないとき、これが静的な場という。

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