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zoom RSS 惑星の運動(2)

<<   作成日時 : 2013/11/11 00:01   >>

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ここでは、Lagrange 運動方程式で Kepler の法則を導くことを考えます。

惑星の質量は運動に関係しないから、これを1にとることにします。
太陽の位置を原点にとり、平面極座標 を用いて、 と、さらに 表せば、
  
から、
  
なので、
  運動エネルギー : 
  位置エネルギー : 
となります。
よって、Lagrange 関数は
  
です。これから、
  
となりますが、具体的に書けば、
  
です。第2式は
  
で、面積速度とは なので、αの半分になりますが、この式が「面積速度一定」を示しています。この式から
  
です。
第1式の代わりに、エネルギー保存式
  
に上の式を代入すると、
  
となります。
この微分方程式の解が原点を焦点の一つとする円錐曲線
  
の形に求められことを予想して、代入することを考えます。まず、
  
  
なので、微分方程式に代入すると、
  
となりますが、左辺を を含む項とそれ以外に分けると、
  
となり、これが によらず成立するためには、
  
でなければなりません。後の方の式から、
  
この結果を前の方の式に代入して
  
つまり、
  
です。
離心率(eccentricity) と呼ばれます。
     <1 :楕円  :  <0
     =1 :放物線 :  =0
     >1 :双曲線 :  >0
また、通径(latus rectum) といいます。

Kepler の法則は楕円軌道に関するものなので、以下は <1 の場合のみを考えることにします。
まず、この楕円の長軸 と短軸 とを で表すことを考えます。
長軸というのは太陽から遠日点 近日点 とを足したものなので、
   
から
   
ここで、両焦点の間の長さは に等しい。また楕円とは、両焦点からの距離の和が一定である点の軌跡で、これは遠日点・近日点でも成り立つので、この一定値は ということになります。これらの条件から下図を見ると
画像
 
ピタゴラスの定理から
   
なので、
   
と定まります。
ところで、楕円の面積は第T象限の4倍ということから、
  
  
です。

惑星の運動の周期 は楕円軌道の面積 を面積速度 で割った商に等しい:
  
よって、
  
すなわち
 
画像

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