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## ３次元の場合[曲率テンソル]（３）

<<   作成日時 ： 2013/10/31 00:01   >>

 今回は問題を１つ解いてみます（２つ用意していて最初の問題です）。 [問題1]=========================================== ４次元 Euclid 空間 $\left(x,y,z,w\right)$ の中の３次元放物面 　　　$w=\frac{x^{2}}{2\rho_{1}}+\frac{y^{2}}{2\rho_{2}}+\frac{z^{2}}{2\rho_{3}}$ の原点における曲率テンソルの成分を計算せよ。 ================================================== 　　　$dw=\frac{xdx}{\rho_{1}}+\frac{ydy}{\rho_{2}}+\frac{zdz}{\rho_{3}}$ から、 　　　$dw^{2}=\frac{x^{2}}{\rho{_{1}}^{2}}dx^{2}+\frac{y^{2}}{\rho{_{2}}^{2}}dy^{2}+\frac{z^{2}}{\rho{_{3}}^{2}}dz^{2}+\frac{2xy}{\rho_{1}\rho_{2}}dxdy+\frac{2yz}{\rho_{2}\rho_{3}}dydz+\frac{2zx}{\rho_{3}\rho_{1}}dzdx$ なので、 　　　$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dw^{2}$ 　　　$=\left(1+\frac{x^{2}}{\rho{_{1}}^{2}}\right&space;)dx^{2}+\left(1+\frac{y^{2}}{\rho{_{2}}^{2}}&space;\right&space;)dy^{2}+\left(1+\frac{z^{2}}{\rho{_{3}}^{2}}\right&space;)dz^{2}$ 　　　$+\frac{2xy}{\rho_{1}\rho_{2}}dxdy+\frac{2yz}{\rho_{2}\rho_{3}}dydz+\frac{2zx}{\rho_{3}\rho_{1}}dzdx$ であり、 　　　$\begin{bmatrix}&space;g_{11}&space;&&space;g_{12}&space;&&space;g_{13}\\&space;g_{21}&space;&&space;g_{22}&space;&&space;g_{23}\\&space;g_{31}&space;&&space;g_{32}&space;&&space;g_{33}&space;\end{bmatrix}=&space;\begin{bmatrix}&space;1+x^{2}/\rho{_{1}}^{2}&space;&&space;xy/\left(\rho_{1}\rho_{2}\right)&space;&&space;zx/\left(\rho_{3}\rho_{1}\right)\\&space;xy/\left(\rho_{1}\rho_{2}\right)&space;&1+y^{2}/\rho{_{2}}^{2}&space;&&space;yz/\left(\rho_{2}\rho_{3}\right)\\&space;zx/\left(\rho_{3}\rho_{1}\right)&space;&&space;yz/\left(\rho_{2}\rho_{3}\right)&space;&1+z^{2}/\rho{_{3}}^{2}&space;\end{bmatrix}$ なので、原点では、 　　　$\begin{bmatrix}&space;g_{11}&space;&&space;g_{12}&space;&&space;g_{13}\\&space;g_{21}&space;&&space;g_{22}&space;&&space;g_{23}\\&space;g_{31}&space;&&space;g_{32}&space;&&space;g_{33}&space;\end{bmatrix}=&space;\begin{bmatrix}&space;1&space;&&space;0&space;&&space;0\\&space;0&space;&1&space;&&space;0\\&space;0&space;&&space;0&space;&1&space;\end{bmatrix}\rightarrow&space;\begin{bmatrix}&space;g^{11}&space;&&space;g^{12}&space;&&space;g^{13}\\&space;g^{21}&space;&&space;g^{22}&space;&&space;g^{23}\\&space;g^{31}&space;&&space;g^{32}&space;&&space;g^{33}&space;\end{bmatrix}=&space;\begin{bmatrix}&space;1&space;&&space;0&space;&&space;0\\&space;0&space;&1&space;&&space;0\\&space;0&space;&&space;0&space;&1&space;\end{bmatrix}$ ここから曲率テンソルを計算する。 $R_{1212}=\frac{1}{2}\left\{2\frac{\partial^{2}&space;}{\partial&space;x\partial&space;y}\left(\frac{xy}{\rho_{1}\rho_{2}}\right)-\frac{\partial^2&space;}{\partial&space;y^2}\left(1+\frac{x^{2}}{\rho{_{1}}^{2}}\right)-\frac{\partial^2&space;}{\partial&space;x^2}\left(1+\frac{y^{2}}{\rho{_{2}}^{2}}\right)\right\}+g_{np}\left(\Gamma{^{n}}_{21}\Gamma{^{p}}_{12}-\Gamma{^{n}}_{22}\Gamma{^{p}}_{11}\right&space;)$ $=\frac{1}{\rho_{1}\rho_{2}}+g_{np}\left(\Gamma{^{n}}_{21}\Gamma{^{p}}_{12}-\Gamma{^{n}}_{22}\Gamma{^{p}}_{11}\right&space;)$ $R_{2323}=\frac{1}{2}\left\{2\frac{\partial^{2}&space;}{\partial&space;y\partial&space;z}\left(\frac{yz}{\rho_{2}\rho_{3}}\right)-\frac{\partial^2&space;}{\partial&space;z^2}\left(1+\frac{y^{2}}{\rho{_{2}}^{2}}\right)-\frac{\partial^2&space;}{\partial&space;y^2}\left(1+\frac{z^{2}}{\rho{_{3}}^{2}}\right)\right\}+g_{np}\left(\Gamma{^{n}}_{32}\Gamma{^{p}}_{23}-\Gamma{^{n}}_{33}\Gamma{^{p}}_{22}\right&space;)$ $=\frac{1}{\rho_{2}\rho_{3}}+g_{np}\left(\Gamma{^{n}}_{32}\Gamma{^{p}}_{23}-\Gamma{^{n}}_{33}\Gamma{^{p}}_{22}\right&space;)$ $R_{3131}=\frac{1}{2}\left\{2\frac{\partial^{2}&space;}{\partial&space;z\partial&space;x}\left(\frac{zx}{\rho_{3}\rho_{1}}\right)-\frac{\partial^2&space;}{\partial&space;x^2}\left(1+\frac{z^{2}}{\rho{_{3}}^{2}}\right)-\frac{\partial^2&space;}{\partial&space;z^2}\left(1+\frac{x^{2}}{\rho{_{1}}^{2}}\right)\right\}+g_{np}\left(\Gamma{^{n}}_{13}\Gamma{^{p}}_{31}-\Gamma{^{n}}_{11}\Gamma{^{p}}_{31}\right&space;)$ $=\frac{1}{\rho_{3}\rho_{1}}+g_{np}\left(\Gamma{^{n}}_{13}\Gamma{^{p}}_{31}-\Gamma{^{n}}_{11}\Gamma{^{p}}_{31}\right&space;)$ $R_{1223}=\frac{1}{2}\left\{\frac{\partial^2&space;}{\partial&space;y^2}\left(\frac{zx}{\rho_{3}\rho_{1}}\right)+\frac{\partial^{2}&space;}{\partial&space;z\partial&space;x}\left(1+\frac{y^{2}}{\rho{_{2}}^{2}}\right)-\frac{\partial^2&space;}{\partial&space;y\partial&space;z}\left(\frac{xy}{\rho_{1}\rho_{2}}\right)-\frac{\partial^2&space;}{\partial&space;x\partial&space;y}\left(\frac{yz}{\rho_{2}\rho_{3}}\right)\right\}$ $+g_{np}\left(\Gamma{^{n}}_{22}\Gamma{^{p}}_{13}-\Gamma{^{n}}_{22}\Gamma{^{p}}_{12}\right&space;)=g_{np}\left(\Gamma{^{n}}_{22}\Gamma{^{p}}_{13}-\Gamma{^{n}}_{22}\Gamma{^{p}}_{12}\right&space;)$ $R_{2331}=\frac{1}{2}\left\{\frac{\partial^2&space;}{\partial&space;z^2}\left(\frac{xy}{\rho_{1}\rho_{2}}\right)+\frac{\partial^{2}&space;}{\partial&space;y\partial&space;z}\left(1+\frac{z^{2}}{\rho{_{3}}^{2}}\right)-\frac{\partial^2&space;}{\partial&space;z\partial&space;x}\left(\frac{yz}{\rho_{2}\rho_{3}}\right)-\frac{\partial^2&space;}{\partial&space;y\partial&space;z}\left(\frac{zx}{\rho_{3}\rho_{1}}\right)\right\}$ $+g_{np}\left(\Gamma{^{n}}_{33}\Gamma{^{p}}_{21}-\Gamma{^{n}}_{31}\Gamma{^{p}}_{23}\right&space;)=g_{np}\left(\Gamma{^{n}}_{33}\Gamma{^{p}}_{21}-\Gamma{^{n}}_{31}\Gamma{^{p}}_{23}\right&space;)$ $R_{3112}=\frac{1}{2}\left\{\frac{\partial^2&space;}{\partial&space;x^2}\left(\frac{yz}{\rho_{2}\rho_{3}}\right)+\frac{\partial^{2}&space;}{\partial&space;y\partial&space;z}\left(1+\frac{x^{2}}{\rho{_{1}}^{2}}\right)-\frac{\partial^2&space;}{\partial&space;x\partial&space;y}\left(\frac{zx}{\rho_{3}\rho_{1}}\right)-\frac{\partial^2&space;}{\partial&space;z\partial&space;x}\left(\frac{xy}{\rho_{1}\rho_{2}}\right)\right\}$ $+g_{np}\left(\Gamma{^{n}}_{11}\Gamma{^{p}}_{32}-\Gamma{^{n}}_{12}\Gamma{^{p}}_{31}\right&space;)=g_{np}\left(\Gamma{^{n}}_{11}\Gamma{^{p}}_{32}-\Gamma{^{n}}_{12}\Gamma{^{p}}_{31}\right&space;)$ 原点では、クリストッフェル記号はゼロなので、 　　　$R_{1212}=\frac{1}{\rho_{1}\rho_{2}},\;R_{2323}=\frac{1}{\rho_{2}\rho_{3}},\;&space;R_{3131}=\frac{1}{\rho_{3}\rho_{1}},$ 　　　$R_{1223}=R_{2331}=R_{3112}=0$ となり、原点では $g^{11}=g^{22}=g^{33}=1$ 以外はゼロなので、リッチテンソルを求めると、 　　　$R_{11}=g^{11}R_{1111}+g^{22}R_{2121}+g^{33}R_{3131}=\frac{1}{\rho_{1}\rho_{2}}+\frac{1}{\rho_{3}\rho_{1}}$ 　　　$R_{12}\left(=R_{21}\right)=g^{11}R_{1121}+g^{22}R_{2122}+g^{33}R_{3132}=0$ 　　　$R_{13}\left(=R_{31}\right)=g^{11}R_{1131}+g^{22}R_{2123}+g^{33}R_{3133}=0$ 　　　$R_{22}=g^{11}R_{1212}+g^{22}R_{2222}+g^{33}R_{3232}=\frac{1}{\rho_{1}\rho_{2}}+\frac{1}{\rho_{2}\rho_{3}}$ 　　　$R_{23}\left(=R_{32}\right)=g^{11}R_{1213}+g^{22}R_{2223}+g^{33}R_{3233}=0$ 　　　$R_{33}=g^{11}R_{1313}+g^{22}R_{2323}+g^{33}R_{3333}=\frac{1}{\rho_{3}\rho_{1}}+\frac{1}{\rho_{2}\rho_{3}}$ したがって、スカラー曲率テンソルは 　$R=g^{11}R_{11}+g^{22}R_{22}+g^{33}R_{33}=R{^{1}}_{1}+R{^{2}}_{2}+R{^{3}}_{3}=2\left(\frac{1}{\rho_{1}\rho_{2}}+\frac{1}{\rho_{2}\rho_{3}}+\frac{1}{\rho_{3}\rho_{1}}\right)$ となる。

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